Verhältnis von Dichten für Varianten der Zufallsfunktion.

Question

Ich beschäftige mich grade mit Stochastik.
Bin grade bei Dichtefunktionen angelangt.
Was mich beschäftigt, ist wie sich die Dichtefunktion einer Zufallsvariable verändert,wenn ich diese Zufallsvariable mit einem Faktor multipliziere.
Also als Beispiel :
Sei X gleichverteilt auf [2,4]
Dann ist die Dichte ja gegeben durch : 1/ (4-2) = 1/2

Definiere ich mir jetzt aber die Zufallsvariable Y = 2X
Wie sieht dann die Dichte dieser Zufallsvariable aus?
Sie ist ja,da X gleichverteilt ist, wahrscheinlich auch gleichverteilt.

Answer 1

Hi Marvin,

wenn \(X\) auf \([2,4] \) gleichverteilt ist, dann ist \(Y = 2X\) auf \([4,8]\) gleichverteilt. Die Dichtefunktion ändert sich dementsprechend.

Gruß

Comments

Und wie sieht das bei anderen Funktionen aus?
Also wenn eine beliebige Verteilung auftritt für X(also auch beliebige Dichte) und  dann die Dichte von

Y=2x berechnet werden soll?

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Puh um das jetzt irgendwie allgemein zu sagen könnte ich nur ein paar Vermutungen/Überlegungen anbieten.

Zum Beispiel: Betrachte \(Y\) als Funktion der Zufallsvariable \(X\) die wiederum auf dem Intervall \([a,b]\) verteilt ist.

Also \(Y: [a,b] \to [c,d] \). Wenn \(Y(x)\) bijektiv mit der Umkehrfunktion \(X(y)\) und stetig differenzierbar ist, dann kann man aus der Überlegung, dass für die Dichtefunktion von \(X\) gilt:

$$ \int \limits_a^b f(x)dx = 1 $$

nun durch die Interpretation von \(Y(X)\)) als  Substitution herleiten, dass

$$ \int \limits_c^d f(X(y)) \cdot X'(y) dy = 1 $$

Die Dichtefunktion der auf \( [c,d] \) verteilten Zufallsvariable \(Y\) entspricht dann dem Integranden.

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Sagen wir Y= 2X also wäre auch Y(x) = 2x

Umkehrfunktion X(y) =1/2y

Also habe ich meine Dichtefunktion f(x) von X so setze ich in diesem Fall 1/2y in die f(x) und multipliziere das mit der Ableitung von X(y) ,also mit 1/2 ???.

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Ja genau.

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Falls du dieses Semester Stochastik besuchst: In der VL war das Satz 8.20 bzw. im mehrdimensionalen Fall Satz 9.7. Falls du keine Mitschrift haben solltest, kann ich dir gerne hier den Dichtetransformationssatz (dieser ist hier anzuwenden) im ein- und mehrdimensionalen Fall schreiben.

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Geil, wusste gar nicht das das ein ganzer Satz ist :)

@ Marvin: Danke dir, war eine interessante Frage.