Umkehrfunktion/ Bijektivität von f : R^2 → R^2

Question

Aufgabe:

… Zeige, dass die Funktion bijektiv ist und Bilde die Umkehrfunktion von

f : R^2 → R^2 mit f(x, y) := (−x − y, 2x + y)

Problem/Ansatz:

… für Bijektivität muss ja ich ja zeigen, dass jedem y mind. ein x zugeordnete wird, also y = 0 setzen, dann erhält man ja (-x,2x) ?!

... für die Umkehrfunktion habe ich bis jz f^-1(y,x) = (-y-x,y+2x) aber ich weiß nicht ob es stimmt und wie ich es beweisen soll :/

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion ist linear, daher kannst du sie mit Hilfe einer Matrix schreiben:$$\binom{f_x}{f_y}=\binom{-x-y}{2x+y}=x\cdot\left(\begin{array}{rr}-1\\2\end{array}\right)+y\cdot\left(\begin{array}{rr}-1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-1 & -1\\2 & 1\end{array}\right)\binom{x}{y}$$Die Abbildung ist bijektiv, weil die Determinante der Abbildungsmatrix \(=1\) und damit \(\ne0\) ist. Daher ist die Abbildung umkehrbar:$$\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -1\\2 & 1\end{array}\right)^{-1}\binom{f_x}{f_y}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\-2 & -1\end{array}\right)\binom{f_x}{f_y}$$Die Umkehrfunktion lautet also:$$f^{-1}(x;y)=\binom{x+y}{-2x-y}$$