Zeigen Sie: verschiedene Eigenschaften lineare Abbildung ( mit Kern, Bild, Bijektivität..)

Question

Aufgabe:

Hinweis: Kern und Bild einer Matrix \( M \in \mathbb{K}^{m \times n} \) sind definiert als Kern \( (M):=\operatorname{Kern}(\varphi) \) bzw. Bild \( (M):=\operatorname{Bild}(\varphi) \) mit \( \varphi: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}^{m}: x \mapsto M x \).

Für \( \mathbb{K} \)-Vektorräume \( V \) und \( W \) sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Die Mengen Kern \( (f) \subseteq V \) und Bild \( (f) \subseteq W \) sind Untervektorräume.
(b) Die Abbildung \( f \) ist genau dann injektiv, wenn \( \operatorname{Kern}(f)=\{0\} \) gilt.
(c) Ist \( f \) bijektiv, dann ist die Umkehrabbildung \( f^{-1}: W \rightarrow V \) von \( f \) ebenfalls linear.
(d) Ist \( g: V \rightarrow W \) eine weitere lineare Abbildung und \( \alpha, \beta \in \mathbb{K} \), dann ist die Abbildung \( \alpha f+\beta g: V \rightarrow W: v \mapsto \alpha f(v)+\beta g(v) \) ebenfalls linear.

Problem/Ansatz:

a) mein Problem ist wie ich es zeigen soll.

Ich habe nur auf unser Skript verwiesen. Dort heißt es : "Sowohl Kern(f) als auch Bild(f) sind Untervektorräume.

Ich weiß noch: Der Kern ist ja alles, was 0 ergibt. Das ist eine Bedingung für einen UVR.

b)satz: sei \( f: v \rightarrow w \) linear
Dann gilt: uern \( f=\{0\} \Leftrightarrow f \) ist injektiv
\( \Rightarrow \) "kein \( f=\{0\} \)
z.z. \( f \) ist injeletiv \( \Leftrightarrow\left[f\left(v_{1}\right)=f\left(v_{2}\right) \Rightarrow v_{1}=v_{2}\right] \)
sei \( v_{1}, v_{2} \in v \) mit \( f\left(v_{1}\right)=f\left(v_{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow f\left(v_{1}\right)-f\left(v_{2}\right)=0 \)
f linear \( \Leftrightarrow f\left(v_{1}-v_{2}\right)=0 \Leftrightarrow v_{1}-v_{2} \in \) kern \( f=\{0\} \)
\( \Leftrightarrow v_{1}-v_{2}=0 \quad \Leftrightarrow v_{1}=v_{2} \)

c)Wieder; Wie soll ich das zeigen?.

Habe es jetzt so begründet:

Da Bijektiv existiert eine Umkehrabbildung. Die sieh so aus: x-->M^(-1)*X (linear)

Inverse existiert, da voller Rang aufgrund von Bijektivität

Answer 1

Der Kern ist ja alles, was 0 ergibt. Das ist eine Bedingung für einen UVR.

Das muss man wohl etwas genauer ausführen:

Um zu zeigen, dass der Kern ein UVR ist, musst du die Kriterien

für IVR prüfen, also etwa

1. ist der 0-Vektor enthalten ?

Ja, denn im Kern sind ja alle x mit f(x)=0 und

weil f linear ist, gilt f(0)=0 , also stimmt das.

2. Ist mit zwei Elementen x,y des Kerns auch deren Summe enthalten ?

Ja, denn x,y ∈ Kern(f) ==>  f(x)=0 und f(y)=0

==> f(x+y) = f(x)+f(y) [weil f linear]

                = 0 + 0 = 0 also x+y∈Kern(f).

3. Mit jedem x∈Kern(f) und z∈K muss gelten z*x∈Kern(f).

Auch das ist erfüllt, denn f(x)=0

==>   f(z*x) =  z*f(x) [weil f linear]

                 = z*0 = 0   also z*x∈Kern(f).