Lineare Abbildung zeigen

Question

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Seien \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) und \( g: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{k} \) lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass \( g \circ f \) eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:kann mir einer zeigen wie man dies zeigen könnte ?

Comments

probiere die erstmal die Eigenschaften einer linearen Abbildung aufzuschreiben, dann ist der Beweis eigentlich recht unkompliziert.

Answer 1

Für eine lineare Abbildung muss gelten:

f(λv+v‘) = λf(v)+f(v‘)

Überprüfen dies nun für gof :

gof(λv+v‘) = g(f(λv+v‘)) = (da f linear) g(λf(v)+f(v‘)) = (da g linear) λg(f(v))+g(f(v‘) = λgof(v)+gof(v‘)

Somit ist die Bedingung für lineare Abbildungen erfüllt.

(Für die Formalität solltest du noch aufschreiben woher v,v‘ und λ sind, das ergibt sich wenn du dir die Gegebenheiten anschaust)