Determinante von einer Matrix berechnen

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich die Determinante folgender Matrix

(  1          1        ...       1    )

| x1         x2    …        xn   |

| x1^2      x2^2 …        xn^2  |

| …                                        |

(  x1^(n-1)  x2^(n-1)   …      xn^(n-1) )

Comments

Suche im Internet nach Vandermonde-Matrix/-Determinante.

Answer 1

WEnn mal einen Versuch macht eine Dreiecksmatrix zu erzeugen, also V=geg. Matrix 4x4, n=3

\(\scriptsize \left(\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&\frac{-\left(\left(a2 - a3 \right) \; \left(a1 - a3 \right) \; \left(a1 + a2 + a3 \right) \right)}{\left(a2 - a3 \right) \; \left(a1 - a3 \right)}&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\frac{a2^{2} - a1^{2}}{-a2 + a1}&1&0\\0&\frac{a2^{3} - a1^{3}}{-a2 + a1}&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\-a1&1&0&0\\-a1^{2}&0&1&0\\-a1^{3}&0&0&1\\\end{array}\right) \; V \right) \)

\(\scriptsize = \left(\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\0&-a1 + a2&-a1 + a3&-a1 + a4\\0&0&\left(-a3 + a2 \right) \; \left(a1 - a3 \right)&\left(-a4 + a2 \right) \; \left(a1 - a4 \right)\\0&0&0&\left(a4 - a3 \right) \; \left(a2 - a4 \right) \; \left(a1 - a4 \right)\\\end{array}\right)\)

da kann man auf die zündende Idee kommen:

\(\prod\limits_{j=1}^{n - 1} \prod\limits_{k=j + 1}^{n}a_j - a_k\)