Quadratische Formen und Basen

Question

Aufgabe:

Sei φ : R² × R² → R die Bilinearform, deren Matrix in der Standardbasis gegeben ist durch
A=\(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
Zeigen Sie, dass es keine Basis B von R² gibt, so dass M_B(φ)
eine Diagonalmatrix ist.

Problem/Ansatz:

In der Vorlesung haben wir die Bedingungen, dass die Charakteristik ungleich 2 sein muss und φ eine symmetrische BLF haben muss, damit eine solche Basis existiert. Nun sehe ich ja, dass die Matrix nicht Symmetrisch ist und die Charakteristik von R ist 0. Reicht es dann, wenn nur eine der Bedingungen nicht erfüllt ist oder muss man dies anders zeigen.

Danke schonmal im Voraus.

Answer 1

Ein Basiswechsel bedeutet, dass es eine invertierbare 2x2-Matrix \(S\) gibt

mit \(S^tAS=M_B(\phi)=diag(d_1,d_2)\). Mit \(U=S^{-1}\) erhält man

\(A=U^Tdiag(d_1,d_2)U\). Folglich

\(A^t=(U^tdiag(d_1,d_2)U)^t=U^tdiag(d_1,d_2)^t(U^t)^t=U^tdiag(d_1,d_2)U=A\).

Aber \(A\) ist nicht symmetrisch. Also kann es keinen solchen Basiswechsel geben.

Comments

Ok danke dir.

Und wir wäre das bei einer symmetrischen Matrix und einem Körper mit Char=2. diese kann ich doch invertieren, aber dennoch findet sich dafür keine Basis?