Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen als Grenzwert

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen mit der Definition (also als Grenzwert
des Differenzenquotienten).
(a) f : ]0,∞[ → R,f(x)=√x.
(b) f : R → R, f(x)=x|x|.

b) Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln.
(a) 2x^7 − cos(3x),       (b) (sin(x^2−2π))/cos(x),        (c) e^(3x-1)(x+2).

Problem/Ansatz:

Ich kann Ableitung leider gar nicht, hab es weder verstanden noch kann ich es andwenden: Ich verzweifel schon die ganze Zeit. Hilfe :(

Answer 1

\( f(x)=\sqrt{x} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}) \cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h \cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x+h-x}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}= \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h \cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)

f(x)= 2\( x^{7} \) − cos(3x),

f´(x)=2*7*\( x^{7-1} \)+ sin(3x)*3  =14*\( x^{6} \)+ 3*sin(3x)

\( f(x)=\frac{\sin \left(x^{2}-2 \pi\right)}{\cos (x)} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{\left(\cos \left(x^{2}-2 \pi\right) \cdot 2 x \cdot \cos (x)\right)-\sin \left(x^{2}-2 \pi\right) \cdot(-\sin (x))}{\cos ^{2}(x)} \)

Answer 2

b)

a) f'(x)= 14x^6 +3*sin(3x)

b) Quotientenregel:

u= sin(x^2-2pi) -> u' = cos(x^2-pi)*2x

v= cos(x) -> v' = -sin(x)

c) Produkt-und Kettenregel:

u=e^(3x-1) -> v'= 3*e^(3x-1)

v= x+2 -> v' = 1