Lineare Abbildungen Algebra 1

Question

Aufgabe

Weiss jemand was zur a) und b) ? Wäre für jede Hilfe dankbar.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $a_{1}, \ldots, a_{n} \in V$. Wir definieren eine Abbildung $\phi$ wie folgt:
$\phi: K^{n} \rightarrow V, \quad \phi(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} a_{i} .$
Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung $\phi$ ist linear.
(b) $\phi$ ist genau dann surjektiv, wenn $a_{1}, \ldots, a_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
(c) $\phi$ ist genau dann injektiv, wenn die Vektoren $a_{1}, \ldots, a_{n}$ linear unabhängig sind.

Answer 1

Text erkannt:

$\Phi: k^{n} \rightarrow v_{1} \quad \Phi(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} a_{i} \quad B_{8 p .}: \Phi\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=x_{1} a_{1}+x_{2} a_{2}$ $\Phi_{\text {ist linear, falls gilt: }} \Phi\left(\lambda x+x^{\prime}\right)=\lambda \Phi(x)+\Phi\left(x^{\prime}\right) \quad \forall x, x^{\prime} \in K^{n}, \lambda \in K$ Seien nuen also $x, x^{\prime} \in k^{n} \Rightarrow x^{\prime}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{n}\end{array}\right), x^{\prime}:=\left(\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{n}^{\prime}\end{array}\right) \quad$, $\lambda \in K$
$\begin{aligned} \Phi\left(\lambda x+x^{\prime}\right) &=\left(\lambda x_{1}+x_{1}^{\prime}\right) a_{1}+\left(\lambda x_{2}+x_{2}^{1}\right) a_{2}+\ldots+\left(\lambda x_{n}+x_{n}^{\prime}\right) a_{n} \\ &=\lambda x_{1} a_{1}+x_{1}^{\prime} a_{1}+\ldots+\lambda x_{n} a_{n}+x_{n}^{\prime} a_{n} \\ &=\lambda x_{1} a_{1}+\ldots+\lambda x_{n} a_{n}+x_{1} a_{1}+\ldots+x_{n}^{\prime} a_{n} \\ &=\lambda \underbrace{\left.x_{1} a_{1}+\ldots+x_{n} a_{n}\right)}_{\Phi(x)}+\underbrace{x_{1}^{\prime} a_{1}+\ldots+x_{n} a_{n}}_{\Phi\left(x^{\prime}\right)} \\ &=\lambda \Phi(x)+\Phi\left(x^{\prime}\right) \end{aligned}$
$\Rightarrow \Phi \text { ist linear. }$

Answer 2

hallo

für linear einfach die Kriterien für linear untersuchen, das ist leicht, wenn ai und bi in V liegen, dann auch  bilden dann natürlich auch ai+bi und r*ai

b) überlege, wenn die ai nicht ganz v erzeugen.

c) wenn die ai nur teilweise Lin unabhängig sind.

im Zweifelsfall überleg es dir in Beispielen in  R³ das kann man leicht verallgemeinern,

lul