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Aufgabe

Weiss jemand was zur a) und b) ? Wäre für jede Hilfe dankbar.


Problem/Ansatz:

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Text erkannt:

Sei V V ein K K -Vektorraum und a1,,anV a_{1}, \ldots, a_{n} \in V . Wir definieren eine Abbildung ϕ \phi wie folgt:
ϕ : KnV,ϕ(x)=i=1nxiai. \phi: K^{n} \rightarrow V, \quad \phi(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} a_{i} .
Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung ϕ \phi ist linear.
(b) ϕ \phi ist genau dann surjektiv, wenn a1,,an a_{1}, \ldots, a_{n} ein Erzeugendensystem von V V ist.
(c) ϕ \phi ist genau dann injektiv, wenn die Vektoren a1,,an a_{1}, \ldots, a_{n} linear unabhängig sind.

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Text erkannt:

Φ : knv1Φ(x)=i=1nxiaiB8p. : Φ(x1x2)=x1a1+x2a2 \Phi: k^{n} \rightarrow v_{1} \quad \Phi(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} a_{i} \quad B_{8 p .}: \Phi\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=x_{1} a_{1}+x_{2} a_{2} Φist linear, falls gilt :  Φ(λx+x)=λΦ(x)+Φ(x)x,xKn,λK \Phi_{\text {ist linear, falls gilt: }} \Phi\left(\lambda x+x^{\prime}\right)=\lambda \Phi(x)+\Phi\left(x^{\prime}\right) \quad \forall x, x^{\prime} \in K^{n}, \lambda \in K Seien nuen also x,xknx=(x1xn),x : =(x1xn) x, x^{\prime} \in k^{n} \Rightarrow x^{\prime}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{n}\end{array}\right), x^{\prime}:=\left(\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{n}^{\prime}\end{array}\right) \quad , λK \lambda \in K
Φ(λx+x)=(λx1+x1)a1+(λx2+x21)a2++(λxn+xn)an=λx1a1+x1a1++λxnan+xnan=λx1a1++λxnan+x1a1++xnan=λx1a1++xnan)Φ(x)+x1a1++xnanΦ(x)=λΦ(x)+Φ(x) \begin{aligned} \Phi\left(\lambda x+x^{\prime}\right) &=\left(\lambda x_{1}+x_{1}^{\prime}\right) a_{1}+\left(\lambda x_{2}+x_{2}^{1}\right) a_{2}+\ldots+\left(\lambda x_{n}+x_{n}^{\prime}\right) a_{n} \\ &=\lambda x_{1} a_{1}+x_{1}^{\prime} a_{1}+\ldots+\lambda x_{n} a_{n}+x_{n}^{\prime} a_{n} \\ &=\lambda x_{1} a_{1}+\ldots+\lambda x_{n} a_{n}+x_{1} a_{1}+\ldots+x_{n}^{\prime} a_{n} \\ &=\lambda \underbrace{\left.x_{1} a_{1}+\ldots+x_{n} a_{n}\right)}_{\Phi(x)}+\underbrace{x_{1}^{\prime} a_{1}+\ldots+x_{n} a_{n}}_{\Phi\left(x^{\prime}\right)} \\ &=\lambda \Phi(x)+\Phi\left(x^{\prime}\right) \end{aligned}
Φ ist linear.  \Rightarrow \Phi \text { ist linear. }

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hallo

für linear einfach die Kriterien für linear untersuchen, das ist leicht, wenn ai und bi in V liegen, dann auch  bilden dann natürlich auch ai+bi und r*ai

b) überlege, wenn die ai nicht ganz v erzeugen.

c) wenn die ai nur teilweise Lin unabhängig sind.

im Zweifelsfall überleg es dir in Beispielen in  R3 das kann man leicht verallgemeinern,

lul

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