Lineare Abbildungen Algebra 1

Question

Aufgabe

Weiss jemand was zur a) und b) ? Wäre für jede Hilfe dankbar.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in V \). Wir definieren eine Abbildung \( \phi \) wie folgt:
\( \phi: K^{n} \rightarrow V, \quad \phi(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} a_{i} . \)
Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung \( \phi \) ist linear.
(b) \( \phi \) ist genau dann surjektiv, wenn \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) ein Erzeugendensystem von \( V \) ist.
(c) \( \phi \) ist genau dann injektiv, wenn die Vektoren \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) linear unabhängig sind.

Answer 1

Text erkannt:

\( \Phi: k^{n} \rightarrow v_{1} \quad \Phi(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} a_{i} \quad B_{8 p .}: \Phi\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=x_{1} a_{1}+x_{2} a_{2} \) \( \Phi_{\text {ist linear, falls gilt: }} \Phi\left(\lambda x+x^{\prime}\right)=\lambda \Phi(x)+\Phi\left(x^{\prime}\right) \quad \forall x, x^{\prime} \in K^{n}, \lambda \in K \) Seien nuen also \( x, x^{\prime} \in k^{n} \Rightarrow x^{\prime}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{n}\end{array}\right), x^{\prime}:=\left(\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{n}^{\prime}\end{array}\right) \quad \), \( \lambda \in K \)
\( \begin{aligned} \Phi\left(\lambda x+x^{\prime}\right) &=\left(\lambda x_{1}+x_{1}^{\prime}\right) a_{1}+\left(\lambda x_{2}+x_{2}^{1}\right) a_{2}+\ldots+\left(\lambda x_{n}+x_{n}^{\prime}\right) a_{n} \\ &=\lambda x_{1} a_{1}+x_{1}^{\prime} a_{1}+\ldots+\lambda x_{n} a_{n}+x_{n}^{\prime} a_{n} \\ &=\lambda x_{1} a_{1}+\ldots+\lambda x_{n} a_{n}+x_{1} a_{1}+\ldots+x_{n}^{\prime} a_{n} \\ &=\lambda \underbrace{\left.x_{1} a_{1}+\ldots+x_{n} a_{n}\right)}_{\Phi(x)}+\underbrace{x_{1}^{\prime} a_{1}+\ldots+x_{n} a_{n}}_{\Phi\left(x^{\prime}\right)} \\ &=\lambda \Phi(x)+\Phi\left(x^{\prime}\right) \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \Phi \text { ist linear. } \)

Answer 2

hallo

für linear einfach die Kriterien für linear untersuchen, das ist leicht, wenn ai und bi in V liegen, dann auch  bilden dann natürlich auch ai+bi und r*ai

b) überlege, wenn die ai nicht ganz v erzeugen.

c) wenn die ai nur teilweise Lin unabhängig sind.

im Zweifelsfall überleg es dir in Beispielen in  R^3 das kann man leicht verallgemeinern,

lul