Aloha :)
Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=(x-4,5)^2+(-4y-3)^2-7xy=(x-4,5)^2+(4y+3)^2-7xy$$findest du dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2(x-4,5)-7y}{2(4y+3)\cdot4-7x}=\binom{2x-7y-9}{32y-7x+24}$$Wir erhalten ein Gleichungssystem:$$\begin{pmatrix}2 & -7\\-7 & 32\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{9}{-24}\quad\implies\quad\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}2 & -7\\-7 & 32\end{pmatrix}^{-1}\binom{9}{-24}=\binom{8}{1}$$
Wir müssen noch prüfen, ob der gefundende Kandidat \((8;1)\) wirklich ein Extremum ist. Dafür benötigen wir die Hesse-Matrix. bestehend aus den zweiten partiellen Ableitungen:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_{xx}f & \partial_{yx}f\\\partial_{xy}f & \partial_{yy}f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -7\\-7 & 32\end{pmatrix}$$Der erste Hauptminor (links oben) ist \(2\), der zweite Hauptminor (die Determinante) ist \(50\), beide sind positiv, sodass die Hesse-Matrix positiv definit ist. Daher liegt an der Stelle \((8;1)\) das globale Minimum vor. ("global" deswegen, weil die Hesse-Matrix nicht mehr von \(x\) oder \(y\) abhängt.)$$f(8;1)=\frac{21}{4}\quad\text{(globales Minimum)}$$
