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Aufgabe:

Welchen Wert besitzt diese Funktion im Optimum.

Die Funktion

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}-4.5\right)^{2}+\left(-4 x_{2}-3\right)^{2}-7 x_{1} x_{2} \)

besitzt ein globales Optimum an der Stelle \( \mathbf{x}^{*} \). Finden Sie dieses Optimum. Welchen Wert besitzt diese Funktion im Optimum?



Problem/Ansatz:

Vielen Dank für die Hilfe.

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Beste Antwort

Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=(x-4,5)^2+(-4y-3)^2-7xy=(x-4,5)^2+(4y+3)^2-7xy$$findest du dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2(x-4,5)-7y}{2(4y+3)\cdot4-7x}=\binom{2x-7y-9}{32y-7x+24}$$Wir erhalten ein Gleichungssystem:$$\begin{pmatrix}2 & -7\\-7 & 32\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{9}{-24}\quad\implies\quad\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}2 & -7\\-7 & 32\end{pmatrix}^{-1}\binom{9}{-24}=\binom{8}{1}$$

Wir müssen noch prüfen, ob der gefundende Kandidat \((8;1)\) wirklich ein Extremum ist. Dafür benötigen wir die Hesse-Matrix. bestehend aus den zweiten partiellen Ableitungen:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_{xx}f & \partial_{yx}f\\\partial_{xy}f & \partial_{yy}f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -7\\-7 & 32\end{pmatrix}$$Der erste Hauptminor (links oben) ist \(2\), der zweite Hauptminor (die Determinante) ist \(50\), beide sind positiv, sodass die Hesse-Matrix positiv definit ist. Daher liegt an der Stelle \((8;1)\) das globale Minimum vor. ("global" deswegen, weil die Hesse-Matrix nicht mehr von \(x\) oder \(y\) abhängt.)$$f(8;1)=\frac{21}{4}\quad\text{(globales Minimum)}$$

Avatar von 152 k 🚀

WOW vielen Dank.

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f(8, 1) = 5.25 sollte ein lokales Minimum sein.

Schaffst du es den Gradienten (bzw. die partiellen Ableitungen) zu bilden und ihn gleich null zu setzen?

Avatar von 487 k 🚀

Danke für die schnelle Antwort

Ich kann leider nicht ganz folgen, die Partielle Ableitung kann ich bilden, meinst du von der Ausgangsfunktion oder? wie gehe ich weiter vor? GLG Maxi

Partielle Ableitungen wären jetzt:

2x-7y-9 und

32y-7x+24

was ist der nächste Schritt?

Setze beide partiellen Ableitungen gleich 0 und löse das lineare Gleichungssystem.

2·x - 7·y - 9 = 0
- 7·x + 32·y + 24 = 0

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