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Matrix A ,Typ R^n*x, sodass A^2=A

Man bestätige:

1: A^n=A

2. B^2 = E, wobei B=2A-E


Man überprüfe folgende Abbildungen auf Linearität:

(Über a und x immer Vektorpfeil, weiß nicht wie man den hin bekommt=

1. f:R^3 - >R^3, f(x)=a "kreuz" x

2. g:R^3->R^3, g(x)=a+x

3. h:R^3->R^3, h(x)=(x^T * a) / (a^T*a) * a


Problem/Ansatz:

Manche Aufgaben bekomm ich hin, bin mir aber nicht sicher ob es damit schon "gezeigt" ist. Bei anderen bin ich ratlos..

1. Da A^2=A, muss A ja E sein, oder? Und E^n=E Ist es damit schon gezeigt?

2. Wenn B=2A-E gilt, und A=E, dann ist es ja eigentlich B=2E-E, also B=E. Und aus 1. E^n=E gilt dann auch E^2=E oder hier B^2 = E ...... Hoffe die Logik stimmt bisschen. Obs damit formal richtig ist weiß ich nicht. Hier bräuchte ich Hilfe.



Beim 2. Teil muss man alle Aufgabenteile auf homogenität a*f(x)=f(ax) und Additivität f(x+y)=f(x) + f(y) überprüfen, oder?

1. Homogenität: z*f(x)=f(z*x)

                 z*a*x=a*z*x passt also, oder?

Additivität: f(x)+f(y)=f(x+y)

               a*x+a*y=a*(x+y)

               a*x+a*y=a*x+a*y, passt also auch, oder?




2. Homogenität: z*f(x)=f(z*x)

                        z*(a+x)=a+z*x

                        z*a+z*x=a+z*x, stimmt also nicht

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1 Antwort

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Hallo :-)

a) geht über Induktion. Es muss nicht allgemein \(A=E\) gelten. Es geht auch

\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)


b) Rechne doch einfach mal

\(B^2=(2A-E)^2\) aus.


Schreibe doch mal bei allen die Vektoren ausgeschrieben hin und rechne nach.

Avatar von 15 k

Danke schonmal, einen kleinen Stoß bräuchte ich aber noch.

Hab das bei b ausgrechnet, aber was sagt mir das jetzt?

Und wie meinst genau mit Induktion?

Jetzt musst du nur noch zusammenfassen und \(A^2=A\) ausnutzen.

a) Mache einen Beweis durch vollständige Induktion über \(n\in \mathbb{N}\).

Wenn ich A^2=A einsetztze, komme ich zu:

B^2=4A-4AE+E^2

wird das zu B^2= 4A - 4A*1+E^2?

Also B^2=E^2

B=E?



Und wegen der vollständigen Induktion. Wenn ich das A^n=A

stattdessen A^n+1=A*1 rechne, kommt doch:

A^n*A=A*1.

Geteilt durch A:

A^n=1

Dann stimmt es doch nicht oder?

Denk dran. Du arbeitest mit Matrizen. Die Matrizen werden nur addiert oder multipliziert, aber nicht dividiert, bzw. nicht so wie du es hingeschrieben hast.

Zu deinem vorigen Kommentar:

Es gilt \(B^2=(2A-E)^2=(2A-E)\cdot (2A-E)\\=2A\cdot 2A-E\cdot 2A-2A\cdot E+E\cdot E=4\cdot A^2-4\cdot A\cdot E+E^2\\=4\cdot A^2-4\cdot A+E^2\stackrel{A^2=A}{=}4\cdot A-4\cdot A+E^2=E^2=E\).

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