Lineare Algebra Aussagen bestätigen

Question

Matrix A ,Typ R^n*x, sodass A^2=A

Man bestätige:

1: A^n=A

2. B^2 = E, wobei B=2A-E

Man überprüfe folgende Abbildungen auf Linearität:

(Über a und x immer Vektorpfeil, weiß nicht wie man den hin bekommt=

1. f:R^3 - >R^3, f(x)=a "kreuz" x

2. g:R^3->R^3, g(x)=a+x

3. h:R^3->R^3, h(x)=(x^T * a) / (a^T*a) * a

Problem/Ansatz:

Manche Aufgaben bekomm ich hin, bin mir aber nicht sicher ob es damit schon "gezeigt" ist. Bei anderen bin ich ratlos..

1. Da A^2=A, muss A ja E sein, oder? Und E^n=E Ist es damit schon gezeigt?

2. Wenn B=2A-E gilt, und A=E, dann ist es ja eigentlich B=2E-E, also B=E. Und aus 1. E^n=E gilt dann auch E^2=E oder hier B^2 = E ...... Hoffe die Logik stimmt bisschen. Obs damit formal richtig ist weiß ich nicht. Hier bräuchte ich Hilfe.

Beim 2. Teil muss man alle Aufgabenteile auf homogenität a*f(x)=f(ax) und Additivität f(x+y)=f(x) + f(y) überprüfen, oder?

1. Homogenität: z*f(x)=f(z*x)

                 z*a*x=a*z*x passt also, oder?

Additivität: f(x)+f(y)=f(x+y)

               a*x+a*y=a*(x+y)

               a*x+a*y=a*x+a*y, passt also auch, oder?

2. Homogenität: z*f(x)=f(z*x)

                        z*(a+x)=a+z*x

                        z*a+z*x=a+z*x, stimmt also nicht

Answer 1

Hallo :-)

a) geht über Induktion. Es muss nicht allgemein \(A=E\) gelten. Es geht auch

\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)

b) Rechne doch einfach mal

\(B^2=(2A-E)^2\) aus.

Schreibe doch mal bei allen die Vektoren ausgeschrieben hin und rechne nach.

Comments

Danke schonmal, einen kleinen Stoß bräuchte ich aber noch.

Hab das bei b ausgrechnet, aber was sagt mir das jetzt?

Und wie meinst genau mit Induktion?

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Jetzt musst du nur noch zusammenfassen und \(A^2=A\) ausnutzen.

a) Mache einen Beweis durch vollständige Induktion über \(n\in \mathbb{N}\).

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Wenn ich A^2=A einsetztze, komme ich zu:

B^2=4A-4AE+E^2

wird das zu B^2= 4A - 4A*1+E^2?

Also B^2=E^2

B=E?

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Und wegen der vollständigen Induktion. Wenn ich das A^n=A

stattdessen A^n+1=A*1 rechne, kommt doch:

A^n*A=A*1.

Geteilt durch A:

A^n=1

Dann stimmt es doch nicht oder?

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Denk dran. Du arbeitest mit Matrizen. Die Matrizen werden nur addiert oder multipliziert, aber nicht dividiert, bzw. nicht so wie du es hingeschrieben hast.

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Zu deinem vorigen Kommentar:

Es gilt \(B^2=(2A-E)^2=(2A-E)\cdot (2A-E)\\=2A\cdot 2A-E\cdot 2A-2A\cdot E+E\cdot E=4\cdot A^2-4\cdot A\cdot E+E^2\\=4\cdot A^2-4\cdot A+E^2\stackrel{A^2=A}{=}4\cdot A-4\cdot A+E^2=E^2=E\).