Bestimmen Sie einen Vektor b ∈ F32, für den das lineare Gleichungssystem Ax = b mit

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie einen Vektor b ∈ F³₂, für den das lineare Gleichungssystem Ax = b mit

A =     0  1  1

      ( 1  1  1  )                         ∈ Mat(3 x 3, F₂)

        1  0  0

keine Lösung besitzt.

Wie muss ich hier vorgehen?

Grüße!

Answer 1

Gegeben sei das LGS \(Ax=b\), d.h.$$\begin{pmatrix}0&1&1\\1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}.$$Addiere die dritte Zeile zur ersten und erhalte das äquivalente LGS$$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1+b_3\\b_2\\b_3\end{pmatrix}.$$Wenn nun \(b_1+b_3\ne b_2\) ist, kann es wg. Widerspruch keine Lösung geben.
Wähle also z.B. \(b=(1,1,1)^\top\).