Zeigen Sie, dass ζ(n) < 2 für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2.

Question

Aufgabe:

Die Riemannsche Zeta-Funktion wird definiert durch die Reihe

ζ(s)= \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^s}} \)

für alle s ∈ ℝ, s > 1. Zeigen Sie, dass ζ(n) < 2 für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2.
Hinweis: Betrachten Sie zuerst

\( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{} \)\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{k^n}} \)

Answer 1

Es ist$$\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^n}=\sum_{k=2}^{\infty}\sum_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{k})^n=\sum_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{1-1/k}-1-1/k)=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^2-k}=$$$$\sum_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=1$$
da Teleskopsumme.

Hieraus folgt$$\zeta(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}=1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^n}\lt 1+1=2$$
q.e.d.