Berechnen Sie den Grenzwert (lim x->0)

Question

Es soll der Grenzwert berechnet werden

lim x->0 \(\frac{sin^2(a+x)-sin^2a}{(a+x)^2-a^2} \)

Und a ist eine Konstante

Answer 1

Mit dem Satz von l'Hôpital ergibt sich (hier handelt es sich um den \(0/0\) Fall)

\(\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (a+x)^{2}-\sin (a)^{2}}{(a+x)^{2}-a^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos (a+x) \sin (a+x)}{2(a+x)}=\frac{\cos (a) \sin (a)}{a} .\end{aligned} \)

Comments

Wir haben im Unterricht oft mit dem Satz von l´Hospital gerechnet. Bekomme mit WolframAlpha auch das raus von dem her habe ich diese Lösung als beste bewertet.

Danke!

Answer 2

Für \(a=0\)  ist der Grenzwert bekanntlich gleich \(1\). Sonst ist$$\quad\lim_{x\to0}\frac{\sin^2(a+x)-\sin^2(a)}{(a+x)^2-a^2}=\lim_{x\to0}\frac{\big(\sin(a+x)+\sin(a)\big)\cdot\big(\sin(a+x)-\sin(a)\big)}{(2a+x)\cdot x}\\=\lim_{x\to0}\frac{\sin(a+x)+\sin(a)}{(2a+x)}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin(a+x)-\sin(a)}x=\frac{2\sin(a)}{2a}\cdot\cos(a)=\frac{\sin(2a)}{2a}.$$

Comments

Ergibt sich für a=0 nicht auch 0/0 als ergebnis?

Answer 3

Multipliziere im Zähler und im Nenner mit 1/x und erkenne, dass der gesuchte Grenzwert
d/da sin^2(a)  /  d/da a^2   ist.