beweisen Sie: loga(x) = logb(x)/logb(a)

Question

Aufgabe: beweisen Sie: log_a(x) = log_b(x)/log_b(a)

Problem/Ansatz: Wie gehe ich hier vor, bzw. welche Logarithmusgesetze brauche ich? Ich kann ja zuerst mit dem Nenner multiplizieren, aber wie geht es dan weiter?

LG

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie das folgende Logarithmusgesetz

Stichworte: beweise,logarithmus

Aufgabe:

Beweise:       log_a(x)=log_b(x) / log_b(a)

Mein Ansatz wäre:

log_b=x <=> a^x=b

^{loga^x = log b}

^{x*log a = log b}

^log_ab*loga = logb

dann nach Log_ab umstellen

^{aber es fühlt sich falsch an}

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Ist das nicht dieselbe Frage

https://www.mathelounge.de/900970/beweisen-sie-loga-x-logb-x-logb-a

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ich danke dir... habe die wohl übersehen

Answer 1

Schau mal unter

https://www.matheretter.de/wiki/herleitung-logarithmusregel-basiswechsel

Answer 2

Ich würde über die Definition des log gehen

log_a(x) =  u <=>   a^u=x

log_b(x) = v <=>   b^v=x

log_b(a)= w <=>   b^w=a

Dann wäre zu beweisen u = v / w bzw

                                          u*w=v

Nun gilt aber   x =a^u=(b^w)^u   Potenzgesetz für: Potenz wird potenziert...gibt

                x =  b^w*u

Aber ( s.o)  auch x = b^v .

Somit   b^v = b^w*u also  v=w*u.

Answer 3

\(b^{\log_b(a)\cdot \log_a(x)}=(b^{\log_b(a)})^{\log_a(x)}=a^{\log_a(x)}=x=b^{\log_b(x)}\).

Exponentenvergleich liefert \(\log_b(a)\cdot\log_a(x)=\log_b(x)\),

also \(\log_a(x)=\log_b(x)/\log_b(a)\)

Comments

Und wie kommt man auf das erste b hoch irgendwas?

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Indem man viel herumexperimentiert und dabei Erfahrungen sammelt,

die einem irgendwann gestatten, solche Ansätze für erfolgreich zu halten.

Und natürlich, indem man sich an die Definition der Logarithmen

erinnert ;-)

Answer 4

\(\log_a(x)=c \Rightarrow a^c=x ~~~~|\log_b(\ldots)\\ \log_b(a^c)=\log_b(x)\\ c\log_b(a)=\log_b(x)\\ \log_a(x)\cdot\log_b(a)=\log_b(x)\\ \log_a(x)=\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

Answer 5

\(\log_a(x)=c \Rightarrow a^c=x ~~~~|\log_b(\ldots)\\ \log_b(a^c)=\log_b(x)\\ c\log_b(a)=\log_b(x)\\ \log_a(x)\cdot\log_b(a)=\log_b(x)\\ \log_a(x)=\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)