Geometrische Reihe Formeln

Question

Hallo, ich hätte eine Frage bezüglich zwei Formeln die, die geometrische Reihe betreffen...

Ich weiß, dass die Formel \( \frac{1}{1-q} \) für den Grenzwert steht, also wie man den Grenzwert berechnet, aber könnte mir jemand vielleicht sagen wofür ich die Formel \( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \)  benötige?

Das n+1 im Zähler sollte eigentlich als Exponent geschrieben werden, habe es aber leider nicht hinbekommen.

also im Zähler soll 1-qⁿ⁺¹ stehen und im Nenner 1-q.

Answer 1

Das ist die Formel für die Summe der ersten n Summanden.

Comments

Also berechnet man die Summe der Funktion aus?

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Wenn du z.B. 1+2+4+8+16+32

ausrechnen sollst, dann ist q=2 und n=6

also das Ergebnis  (2^7 - 1)/ ( 2-1) = 63

Answer 2

Aloha :)

Wir wollen den Wert der folgenden Summe bestimmen:$$S_n\;:\!=\sum\limits_{k=0}^n q^k\quad;\quad q\ne1$$Dazu nmultiplizieren wir \(S_n\) mit \(q\) und subtrahieren das Ergebnis von \(S_n\):$$S_n-q\cdot S_n=\sum\limits_{k=0}^n q^k-q\cdot\sum\limits_{k=0}^n q^k=\sum\limits_{k=0}^n q^k-\sum\limits_{k=0}^n q^{k+1}$$$$\phantom{S_n-q\cdot S_n}=\left(q^0+\sum\limits_{k=1}^nq^k\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^{k+1}+q^{n+1}\right)$$$$\phantom{S_n-q\cdot S_n}=\left(1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^{k+1}\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^{k+1}+q^{n+1}\right)=1-q^{n+1}$$Links können wir \(S_n\) ausklammern und erhalten:$$(1-q)\cdot S_n=1-q^{n+1}$$Für den Fall, dass \(q\ne1\) ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch \((1-q)\) dividieren:$$S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\text{für }q\ne1$$Das ist exakt die von dir gefragte Formel. Sie liefert die Summe der ersten \(n\) Summanden der geometrischen Reihe.

Für den Fall, dass \(|q|<1\) ist, geht das \(q^{n+1}\) im Zähler für wachsende \(n\) gegen \(0\) und du erhältst den bekannten Grenzwert der geometrischen Reihe:$$S_\infty=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$