\( \left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{k}\right)^{\mathrm{c}}=A_{1}^{\mathrm{c}} \cup A_{2}^{\mathrm{c}} \cup \cdots \cup A_{k}^{\mathrm{c}} . \) #
Das sollst du mittels vollst. Induktion ( also für alle k∈ℕ) beweisen.
Für k=1 (Induktionsanfang) ist es wohl klar, dann steht da ja nur
\( \left(A_{1} \right)^{\mathrm{c}}=A_{1}^{\mathrm{c}} \)
Für den Induktionsschritt brauchst du den klassischen Satz von
de Morgan (für 2 Mengen ) ## , also sowas wie \(\left(A_{1} \cap A_{2} \right)^{\mathrm{c}}=A_{1}^{\mathrm{c}} \cup A_{2}^{\mathrm{c}}\)
Wenn das bekannt ist, kannst du es ja benutzen, ansonsten würde
ich das mal vorab beweisen.
Dann nimmst du an, dass # für ein k∈ℕ gilt (Induktionsannahme) und zeigst,
dass es dann auch für k+1 gilt, etwa so:
\(\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{k} \cap A_{k+1}\right)^{\mathrm{c}}\)
wegen der Assoziativität von ∩ ist das
\(\left( (A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{k}) \cap A_{k+1}\right)^{\mathrm{c}}\)
und mit ## ergibt das
\(( A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{k}) ^{\mathrm{c}} \cup A_{k+1}^{\mathrm{c}}\)
Wegen der Induktionsannahme gibt das
\( =(A_{1}^{\mathrm{c}} \cup A_{2}^{\mathrm{c}} \cup \cdots \cup A_{k}^{\mathrm{c}} ) \cup A_{k+1}^{\mathrm{c}} \)
und mit der Assoziativität von ∪ das gewünschte Ergebnis.
