Beweisen Sie \sum \limits_{k=0}^{n-1}z^{k}=0

Question

Aufgabe:

$$\text{ Sei }n\in\mathbb{N}\text{ und } z\in \mathbb{C}/(1) \text{ eine n-te Einheitswurzel, d.h. eine komplexe Zahl mit }z^{n}=1.$$

$$\text{ Beweisen Sie die Identität }$$

$$\sum \limits_{k=0}^{n-1}z^{k}=0$$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher wie ich diese Aufgabe angehen soll.

Bei komplexen Reihen ist mein erster Instinkt sie in Re und Im aufzuteilen, da dies aber eine Potenz ist scheint das nicht möglich.

Answer 1

Alle Einheitswurzeln haben die Form
\(\begin{aligned} z^{n}=1 \Longleftrightarrow z^{n}=\exp (2 k \pi i) \Longleftrightarrow z=\exp \left(\frac{2 k \pi i}{n}\right), \quad k \in \mathbb{N}_{<n} .\end{aligned} \)
Sei nun also \( k \) fixiert, wir betrachten also eine spezielle \( n \) te Einheitswurzel. Dann ergibt sich

\(\begin{aligned} \sum \limits_{j=0}^{n-1} z^{j}=\sum \limits_{j=0}^{n-1} \exp \left(\frac{2 k \pi i}{n}\right)^{j}=\frac{\exp \left(\frac{2 k \pi i}{n}\right)^{n}-1}{\exp \left(\frac{2 k \pi i}{n}\right)-1}=\frac{\exp (2 k \pi i)-1}{\exp \left(\frac{2 k \pi i}{n}\right)-1}\end{aligned} \)

Das Letztere folgt aus der geometrischen Reihe (während ich die Antwort verfasste, hatte das auch schon jemand in seiner erwähnt).

Answer 2

\(\sum_{k=0}^{n-1}z^k=\frac{z^n-1}{z-1}=0\) [geometrische Reihe]