Wie bestimme ich Integration durch Substitution

Question

Aufgabe:

Integration durch substitution ?

Problem/Ansatz:

\( \int \frac{20 x^{3}}{5 x^{4}+1} d x \)

Answer 1

Dies ist ein Integral der Form \(\int \frac{g'(x)}{g(x)}dx\).

Eine Stammfunktion hierzu ist \(\ln(g(x))\) ...

Die zugehörige Substitution wäre \(u=5x^4+1\).

Answer 2

Im Zähler steht die Ableitung des Nenners:

-> F(x) = ln(5x^4+1) +C

Es gilt: f(x) = ln g(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

Diesen Fall haben wir hier. Daher ist diese hier einfach. :)

Comments

Hallo Supporter,

ich wünsche dir ein glückliches und gesundes Neues Jahr !

Gruß ermanus

Answer 3

Aloha :)

Wegen \(\frac{d(5x^4+1)}{dx}=20x^3\) ist \(20x^3\,dx=d(5x^4+1)\), sodass:

$$\int\frac{20x^3}{5x^4+1}\,dx=\int\frac{1}{5x^4+1}\,d(5x^4+1)=\ln\left|5x^4+1\right|+\text{const}$$

Wenn dir das "zu schnell" geht, kannst du auch die Substitution ausführlich hinschreiben:$$u(x)\coloneqq5x^4+1\quad\implies\quad\frac{du}{dx}=20x^3\implies du=20x^3\,dx$$$$\int\frac{20x^3}{5x^4+1}\,dx=\int\frac{1}{5x^4+1}\,20x^3\,dx=\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|+\text{const}=\ln\left|5x^4+1\right|+\text{const}$$