Lineares steifes Differentialgleichungssystem II

Question

Aufgabe:

Lineares steifes Differentialgleichungssystem II.

Es soll das Anfangswertproblem
\( y^{\prime}(x)=\left(\begin{array}{cc} -11 & 8 \\ 8 & -11 \end{array}\right) y(x), \quad y(0)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

betrachtet werden. Es handelt sich hierbei um eine steife Differentialgleichung.

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix in der Differentialgleichung. Stellen Sie damit die allgemeine Formel der Lösung auf ohne die Eigenvektoren darin auszurechnen.

b) Schreiben Sie für das explizite Euler-Verfahren mit Schrittweite \( h=1 \) die Rekursionsvorschrift in der Form \( y_{j+1}=A y_{j} \), wobei \( A \) eine \( (2 \times 2) \)-Matrix ist, und führen Sie drei Integrationsschritte aus.

c) Schreiben Sie für das implizite Euler-Verfahren mit Schrittweite \( h=1 \) die Rekursionsvorschrift in der Form \( y_{j+1}=B y_{j} \), wobei \( B \) eine \( (2 \times 2) \)-Matrix ist, und führen Sie drei Integrationsschritte aus.

d) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus Teil (b) und (c). Welches Verfahren beschreibt das qualitative Verhalten der gesuchten Lösung besser?

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voras! :)

Comments

Hallo

bitte sag genauer , wo deine Schwierigkeiten liegen eigen Werte? Eulerverfahren explizit? implizit ? usw

Teile wirst du ja wohl selbst können?

lul

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Hallo, danke erstmal für deine Antwort, und frohes neues Jahr! :)

zu a) wie kann ich die Eigenwerte der Matrix in der Differentialgleichung bestimmen, ohne die Eigenvektoren darin auszurechnen ?

zu b)  Das explizite Euler-Verfahren ist y_k+1 = y_k  + h*f(x_k , y_k)

wir haben h = 1, Das heißt y_k+1 = y_k + f(x_k , y_k)

Ich komme jetzt nicht weiter, ich weiß nicht was die Rekursionsvorschrift in der Form \( y_{j+1}=A y_{j} \) ist.. Könntest du mir das bitte erklären?

wobei \( A \) eine \( (2 \times 2) \)-Matrix ist

Heißt das dass A das Einheitsmatrix ist?

zu c) habe ich das gleiche Problem wie bei b)

das implizite Euler-Verfahren ist y_k+1 = y_k + h*f(x_k+1 , y_k+1)
wir haben h = 1, Das heißt y_k+1 = y_k + f(x_k+1 , y_k+1)

Ich komme nicht mehr weiter

Danke im Voraus für deine Antwort!

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Die Eigenwerte einer Matrix bestimmt man meist als Nullstellen des charakteristischen Polynoms - ohne Eigenvektoren zu kennen.

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Hallo

A ist die gegebene Matrix also y_k+1=y_k+A*y_k

dabei ist  y jeweils ein Vektor üblicherweise nicht (x,y) sondern (y1,y2) also in der eulerformel kein x

f(y)=A*y

jetzt lös erst mal a und b.

Gruß lul

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Zu a) muss ich erstmal ( -11, 8 ; 8, -11 ) mit (0;1) multiplizieren oder wie?

Zu b) habe ich noch nicht so gut verstanden was ich machen soll..

Danke im Voraus für die Antwort

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Hallo

nein, Eigenwerte wie Mathehilf dir schrieb. det(A-λE)=0 gibt eine Quadratische Gleichung für die 2 Eigenwerte.

lul

b) y1=y0+h*Ay0. hier musst du erstmal A*(0,1) rechnen.

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Also zu a) :

λ^2+22*λ+57= 0  ==>    (λ+19)*(λ+3) = 0

Das heißt die Eigenwerte sind :

1. λ₁ = -19

2. λ₂ = -3

wurde bei a) von mir so verlangt? oder muss ich zu a) noch was machen?

Danke im Voraus! :)

Answer 1

Zu (a)

Die Dgl. hat die allgemeine Lösung

$$ y(t) = e^{ A t } y_0 $$

Mit $$  A = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 8 & -11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}  = B + C $$ folgt

$$ y(t) = e^{B+C}t y_0 = e^B e^C y_0 $$ weil \( BC = C B \) gilt.

Für die Diagonalmatrix \( B \) gilt $$ e^B = \begin{pmatrix} e^{-11} & 0 \\ 0 & e^{-11} \end{pmatrix} $$ Für die antidiagonale Matrix \( C \) gilt, $$ C^2 = 8^2 I $$

Damit gilt $$ e^C = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{C^{2k}}{(2k)!} + \frac{C^{2k+1}}{(2k+1)!} \right] = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{8^{2k} } { (2k)!} I + \frac{8^{2k}} {(2k+1)!} C \right] =  \begin{pmatrix} \cosh(8) & \sinh(8) \\ \sinh(8) & \cosh(8) \end{pmatrix} $$

Damit wird $$ y(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-3t} - e^{-19t} \\ e^{-3t} + e^{-19t} \end{pmatrix} $$

Zu (b)

$$ y_{k+1} = y_k +h A y_k $$ mit \( y_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Zu (c)

$$ y_{k+1} = y_k + h A y_{k+1} $$ mit \( y_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Umgestellt nach \( y_{k+1} \) ergibt sich

$$ y_{k+1} = \left( I - h A \right)^{-1} y_k $$

Die Lösungen sehen dann bei einer Schrittweite von \( h =  0.01 \) so aus

Comments

Danke erstmal für deine Antwort! :)

y(t)=e^At*y_0

Wie kommst du darauf?

Zu a) was sind jetzt die Eigenwerte?

Ich verstehe nicht was du genau gemacht hast und wieso.. könntest du mir bitte erklären?

Zu b) sind wir noch nicht fertig oder?

und führen Sie drei Integrationsschritte aus.

Was sind die drei Integrationsschritte ?

Danke im Voraus für die Antwort!

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Du solltest Dich ein wenig mit dem Lösen von Dgls beschäftigen, dann erledigen sich viele Deiner Fragen. Ohne Grundkenntnisse über dieses Thema kommst Du beim numerischen lösen einer Dgl nicht weiter.

1. \( e^{At} y_0 \) ist eine Lösung der Dgl. \( y' = Ay \) mit \(  A \) ist eine konstante Matrix. Das folgt aus der Theorie der Dgls

2. Bei meinem Ansatz brucht man die Eigenwerte nicht explizit zu berechnen. Wie das aber geschehen kann, wurde hier schon erklärt.

3. Wenn Du nicht weisst was Integrationschritte beim numerischen lösenn einer Dgl sind, dann liegt Dein Problem noch viel tiefer als gedacht. Mache einfach drei Iterationsschritte.

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Bei meinem Ansatz brucht man die Eigenwerte nicht explizit zu berechnen. Wie das aber geschehen kann, wurde hier schon erklärt.

was meintest du? gibt es also keine Eigenwerte oder wie?

Danke im Voraus für deine Antwort :)

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Nein, Eigenwerte gibt es doch immer und berechnen sich so

$$ \det(A- \lambda I) = 0 $$ Nur bei meinem Ansatz musste ich diese Berechnung nicht durchführen, da ich die Matrix wie gezeigt aufgeteilt habe.

Hast Du die anderen Schritte mal nachvollzogen?

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Nur bei meinem Ansatz musste ich diese Berechnung nicht durchführen, da ich die Matrix wie gezeigt aufgeteilt habe.

aber wieso, wenn wir die Eigenwerte durch det(A - λI) = 0 berechnen können ?

Hast Du die anderen Schritte mal nachvollzogen?

noch nicht da ich a) erst verstehen möchte :)

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Also zu a) :

λ^2+22*λ+57= 0   ==>    (λ+19)*(λ+3) = 0

Das heißt die Eigenwerte sind :

1. λ₁ = -19

2. λ₂ = -3

Reicht das so als Lösung? oder muss ich so schreiben wie du gschrieben hast? :

Zu (a)Die Dgl. hat die allgemeine Lösung $$ y(t) = e^{ A t } y_0 $$Mit $$  A = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 8 & -11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}  = B + C $$ folgt$$ y(t) = e^{B+C}t y_0 = e^B e^C y_0 $$ weil \( BC = C B \) gilt.Für die Diagonalmatrix \( B \) gilt $$ e^B = \begin{pmatrix} e^{-11} & 0 \\ 0 & e^{-11} \end{pmatrix} $$ Für die antidiagonale Matrix \( C \) gilt, $$ C^2 = 8^2 I $$Damit gilt $$ e^C = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{C^{2k}}{(2k)!} + \frac{C^{2k+1}}{(2k+1)!} \right] = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{8^{2k} } { (2k)!} I + \frac{8^{2k}} {(2k+1)!} C \right] =  \begin{pmatrix} \cosh(8) & \sinh(8) \\ \sinh(8) & \cosh(8) \end{pmatrix} $$Damit wird $$ y(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-3t} - e^{-19t} \\ e^{-3t} + e^{-19t} \end{pmatrix} $$

wenn nicht reicht , wieso nicht?

Danke im Voraus nochmal für dein Antwort

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Die Eigenwerte sind richtig.

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Alles klar

Zu a)
Die Dgl. hat die allgemeine Lösung $$ y(t) = e^{ A t } y_0 $$Mit $$  A = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 8 & -11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}  = B + C $$ folgt$$ y(t) = e^{B+C}t y_0 = e^B e^C y_0 $$ weil \( BC = C B \) gilt.Für die Diagonalmatrix \( B \) gilt $$ e^B = \begin{pmatrix} e^{-11} & 0 \\ 0 & e^{-11} \end{pmatrix} $$ Für die antidiagonale Matrix \( C \) gilt, $$ C^2 = 8^2 I $$Damit gilt $$ e^C = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{C^{2k}}{(2k)!} + \frac{C^{2k+1}}{(2k+1)!} \right] = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{8^{2k} } { (2k)!} I + \frac{8^{2k}} {(2k+1)!} C \right] =  \begin{pmatrix} \cosh(8) & \sinh(8) \\ \sinh(8) & \cosh(8) \end{pmatrix} $$Damit wird $$ y(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-3t} - e^{-19t} \\ e^{-3t} + e^{-19t} \end{pmatrix} $$

und wofür brauche ich das?

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Das ist die Lösung!!!!

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Einfach nachrechnen

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Meintest du die Lösung davon? :

Stellen Sie damit die allgemeine Formel der Lösung auf ohne die Eigenvektoren darin auszurechnen.

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Was soll ich nachrechnen?

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Ich hab Dir doch alle Lösungsschritte aufgeschrieben. Rechne die nach und melde Dich mit konkreten Fragen wieder und nicht mit so allgemeinen Fragen.

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Die konkreten Fragen kommen wenn ich verstehe wozu du das geschrieben hast.

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix in der Differentialgleichung. Stellen Sie damit die allgemeine Formel der Lösung auf ohne die Eigenvektoren darin auszurechnen.

wie ich verstanden habe ich muss zu a) nur die Eigenwerte bestimmen oder?

Ich habe schon die Eigenwerte gerechnet und sie sind  λ1 = -19 und λ2 = -3

Wenn die Aufgabe a) nur die Eigenwerte von mir verlangt hat dann wofür ist das :

Zu (a)Die Dgl. hat die allgemeine Lösung $$ y(t) = e^{ A t } y_0 $$Mit $$  A = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 8 & -11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}  = B + C $$ folgt$$ y(t) = e^{B+C}t y_0 = e^B e^C y_0 $$ weil \( BC = C B \) gilt.Für die Diagonalmatrix \( B \) gilt $$ e^B = \begin{pmatrix} e^{-11} & 0 \\ 0 & e^{-11} \end{pmatrix} $$ Für die antidiagonale Matrix \( C \) gilt, $$ C^2 = 8^2 I $$Damit gilt $$ e^C = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{C^{2k}}{(2k)!} + \frac{C^{2k+1}}{(2k+1)!} \right] = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{8^{2k} } { (2k)!} I + \frac{8^{2k}} {(2k+1)!} C \right] =  \begin{pmatrix} \cosh(8) & \sinh(8) \\ \sinh(8) & \cosh(8) \end{pmatrix} $$Damit wird $$ y(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-3t} - e^{-19t} \\ e^{-3t} + e^{-19t} \end{pmatrix} $$

Sag mir bitte nur wovon das die Lösung ist wenn ich nur die Eigenwerte bestimmen musste und habe ich schon.

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Nachdem du die Eigenwerte bestimmt hast, gib den Eigenvektoren (die nicht gefragt waren Namen etwa v1 und v2  und schreibe die allgemeine Lösung als

y=v1*c1e^-3t+v2*c2e^-19t

Gruß lu^l

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Danke für deine Antwort :)

v1 = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\ \end{pmatrix} \)

v2 = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\ \end{pmatrix} \)

Das heißt y = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\ \end{pmatrix} \) * c1 e^-3t + \( \begin{pmatrix} 1\\1\\ \end{pmatrix} \) * c2 e^-19t

Und dann ?

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Hallo

woher hast du die Eigenvektoren, anscheinend aber v1 und v2 verwechselt? für a) waren die nicht gefragt!

(c1,c2 bestimmt man aus der Anfangsbedingung)

jetzt auf zum expliziten Euler!

lul

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(c1,c2 bestimmt man aus der Anfangsbedingung)

meinst du c1 = 0 und c2 = 1 ?

woher hast du die Eigenvektoren, anscheinend aber v1 und v2 verwechselt? für a) waren die nicht gefragt!

Ich habe v1 und v2 selbst gerechnet

Dann haben wir: y= v2*e^-19t

oder?

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oder! du hast die Anfangsbedingung nicht wirklich eingesetzt° c1=0 ist falsch.

die exakte Losung hat dir doch schon längst illim geschrieben, aber die war ja in a) nicht verlangt, a) ist längst fertig! Mach dich endlich an b) und c)

lul

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Zu (b)

$$ y_{k+1} = y_k +h A y_k $$

mit \( y_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

 $$ y_{1} = y_0 +h* A *y_0  $$

$$ y_{1} = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} +1* \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 8 & -11 \end{pmatrix}  *\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}  $$

=> $$ y_{1} = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 8\\-11 \end{pmatrix}  $$

=> $$ y_{1} = \begin{pmatrix} 8\\-10 \end{pmatrix}  $$

Was soll ich jetzt machen? ich komme nicht weiter..

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Jetzt kannst Du doch \( y_1 \) einsetzen und \( y_2 \) ausrechnen. Zur Kontrolle es kommt $$ \begin{pmatrix} -160 \\ 164 \end{pmatrix} $$ raus.

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Hallo

kannst du wirklich mit der Formel für y_k+1 nichts anfangen, wenn du schon von k=0 auf k=1 gerechnet hast. Hast du die Idee von Euler nicht verstanden? man kennt Wert und Ableitung an einer Stelle, dan findet mn den nächsten Punkt indem man von dem Punkt mit h*der Ableitung (also Tangente) weiter geht.

Gruß lud

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Jetzt kannst Du doch \( y_1 \) einsetzen und \( y_2 \) ausrechnen. Zur Kontrolle es kommt $$ \begin{pmatrix} -160 \\ 164 \end{pmatrix} $$ raus.

Ja das kam raus. Wie sollte dann jetzt die allgemeine Formel aussehen?

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Hallo

kannst du wirklich mit der Formel für yk+1 nichts anfangen, wenn du schon von k=0 auf k=1 gerechnet hast. Hast du die Idee von Euler nicht verstanden? man kennt Wert und Ableitung an einer Stelle, dan findet mn den nächsten Punkt indem man von dem Punkt mit h*der Ableitung (also Tangente) weiter geht.

Gruß lud

Könntest du mir bitte dabei helfen? Dann könnte ich c) selbst machen wenn ich jetzt die Lösung von b) verstehen würde wie es geht..

Danke im Voraus!

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Hallo

1. du brauchst noch den dritten Schritt!

und hoffentlich hast du die allgemeine Formel vor dir. Irgendwo hast du die doch selbst mal geschrieben? Oder was meinst du mit "allgemeine Formel"

der dritte Schritt rechnet y3 aus y2 aus.

was soll man da noch helfen?

nach dem dritten Schritt bist du mit b) fertig und kannst dich an c) machen

lul

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1. du brauchst noch den dritten Schritt!

Danke für deine schnelle Antwort :)

Meinst du y_3 mit "dritten Schritt" ?

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jaja,ja

lul

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Oh mein Gott! Bist Du sicher das wir nicht vera..t werden?

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zu c)

\(y_{k+1} = \left( I - h A \right)^{-1} y_k \)

\(y_{1} = \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} -  1* \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 8 & -11 \end{pmatrix} \right)^{-1}  \) * \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

=> \(y_{1} = \left( \begin{pmatrix} 12 & -8 \\ -8 & 12 \end{pmatrix} \right)^{-1}  \) * \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

so ? ich komme nicht weiter..

Hast du eine Idee?

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Matrix invertieren?

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=> \(y_{1} = \left( \begin{pmatrix} 3/20 & 1/10 \\ 1/10 & 3/20 \end{pmatrix} \right)  \) * \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

=> y₁ = \( \begin{pmatrix} 1/10 \\ 3/20 \end{pmatrix} \)

so ?

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Welches Verfahren beschreibt das qualitative Verhalten der gesuchten Lösung besser das explizite oder implizite Euler-Verfahren?

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mit 3 Schritten erreichst du t=3

was sollte man dann wohl vergleichen?

hast du y3 für c)

und rechne immer erst fertig, vor der nächsten Frage!! sonst lies mal den Kommentar von ullim

lul

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 \(y_{2} = \left( \begin{pmatrix} 3/20 & 1/10 \\ 1/10 & 3/20 \end{pmatrix} \right)  \) * \( \begin{pmatrix} 1/10 \\ 3/20 \end{pmatrix} \)

=> y₂ = \( \begin{pmatrix} 3/100 \\ 13/400 \end{pmatrix} \)

\(y_{3} = \left( \begin{pmatrix} 3/20 & 1/10 \\ 1/10 & 3/20 \end{pmatrix} \right)  \) * \( \begin{pmatrix} 3/100 \\ 13/400 \end{pmatrix} \)
=> y₃ = \( \begin{pmatrix} 31/4000 \\ 63/8000 \end{pmatrix} \)

so ?

nun komme ich zur Frage: Welches Verfahren beschreibt das qualitative Verhalten der gesuchten Lösung besser das explizite oder implizite Euler-Verfahren?

Danke im Voraus für deine Antwort :)

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Könnte mir jemand bitte dabei helfen ?

https://www.mathelounge.de/905127/prothero-robinson-testgleichung-globalen-fehler

Danke im Voraus! :)