Hier muss man einfach die Eigenschaften einer Metrik nachweisen.
Achtung ich ändere ein bisschen die Notation, damit es leichter ist das hier aufzuschreiben. δ = f
Definitheit: f(x,y) = 0 ⇔min{d(x,y),1 }=0 ⇔ d(x,y)=0 ⇔ x=y (Für die dritte Äquivalent benutzt man die Definitheit von d, da man ja schon weiß, dass (M,d) ein metrischer Raum ist.)
Symmetrie: f(x,y) =min {d(x,y),1}= min {d(y,x), 1} = f(y,x) (Hier wurde die Symmetrie von d verwendet)
Dreiecksungleichung:
Fallunterscheidungen 1: (d(x,y) ≤ 1) :
f(x,y) = d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) (mit Hilfe der Dreiecksungleichung von d)
und daraus folgt mit d(x,y) ≤ 1: f(x,y) ≤ min{d(x,z),1} + min{d(z,y),1}
Fallunterscheidung 2: (d(x,y) ≥ 1):
f(x,y) = 1 ≤ f(x,z) + f(z,y)
Denn falls einer der Summanden den Wert 1 annimmt, so gilt die Ungleichung auf jeden Fall. Falls beide Summanden die Werte von d(x,z) bzw. d(z,y) annehmen so gilt die Ungleichung wegen 1≤ d(x,y)≤ d(x,z)+d(x,z).
Die Positivität folgt wie bei jeder anderen Metrik aus den oben bereits gezeigten Eigenschaften.
Könnte man aber auch ganz schnell mit der Positivität von d herleiten. :)
Hoffe das hat geholfen!
LG
