Wie leitet man diesen Bruch ab, und wie vereinfacht man die Ableitung?

Question

Aufgabe:

\( =\sqrt{x}+\dfrac{x-5}{2 \sqrt{x}} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann man davon die ersten drei Ableitungen erstellen, ich scheitere immer wieder am "vereinfachen" der Terme

Comments

Hallo,die Frage zur Vereinfachung wurde schon beantwortet, für die Ableitung dann die Quotientenregel anwenden .

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Vom Duplikat:

Titel: Wie leitet man diesen Bruch ab, und wie vereinfacht man die Ableitung?

Stichworte: ableitungen,funktion

Aufgabe:

\( \dfrac{3 x-5}{2 \sqrt{x}} \)

Problem/Ansatz:

Wie lautet die Ableitung dieses Terms?

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Und wieso kommst Du damit zum dritten Mal?

Answer 1

Zuerst in die eine Form aus Summen mehrerer Potenzfunktionen bringen

f(x) = √x + (x - 5)/(2·√x)
f(x) = √x + x/(2·√x) - 5/(2·√x)
f(x) = √x + 1/2·√x - 5/(2·√x)
f(x) = 3/2·√x - 5/(2·√x)
f(x) = 3/2·x^(1/2) - 5/2·x^(- 1/2)

Jetzt ist das Ableiten recht einfach.

f'(x) = 3/4·x^(- 1/2) + 5/4·x^(- 3/2)

f''(x) = - 3/8·x^(- 3/2) - 15/8·x^(- 5/2)

Answer 2

\( \sqrt{x}+\frac{x-5}{2 \sqrt{x}} =\frac{2x}{2\sqrt{x}}+\frac{x-5}{2 \sqrt{x}} =\frac{3x-5}{2 \sqrt{x}}  \)

1. Ableitung \(  =\frac{3x+5}{4 x^{1,5}}  \)

2. Ableitung \(  =\frac{-3x-15}{8 x^{2,5}}  \)

3. Ableitung \(  =\frac{9x+75}{16 x^{3,5}}  \)

Answer 3

Aloha :)

Erst würde ich den Funktionsterm etwas umformen:$$f(x)=\sqrt x+\frac{x-5}{2\sqrt x}=\sqrt x+\frac{x}{2\sqrt x}-\frac{5}{2\sqrt x}=\sqrt x+\frac{\sqrt x}{2}-\frac{5}{2\sqrt x}=\frac{3\sqrt x}{2}-\frac{5}{2\sqrt x}$$sodass man ihn leicht ohne Quotientenregel ableiten kann:$$f(x)=\frac32x^{\frac12}-\frac52x^{-\frac12}$$$$f'(x)=\frac34x^{-\frac12}+\frac54x^{-\frac32}=\frac{1}{4}x^{-\frac32}\left(3x+5\right)=\frac{3x+5}{4x\sqrt x}$$$$f''(x)=-\frac38x^{-\frac32}-\frac{15}{8}x^{-\frac52}=-\frac{1}{8}x^{-\frac52}\left(3x+15\right)=-\frac{3x+15}{8x^2\sqrt x}$$$$f''(x)=\frac{9}{16}x^{-\frac52}+\frac{75}{16}x^{-\frac72}=\frac{3}{16}x^{-\frac72}\left(3x+25\right)=\frac{3(3x+25)}{16x^3\sqrt x}$$

Answer 4

Den gesamten Term leitet man mit der Quotientenregel ab. Mach dich schlau darüber.

Wenn du deine Ableitung vorgestellt hast, können wir über mögliche Vereinfachnungen reden.

(Übrigens ist nicht jede "Vereinfachung" wirklich eine. Es kommt auf den Zweck an, für den man die Ableitung bildet.)