Bestimmen Sie eine Basis

Question

(a) Gegeben sei die lineare Abbildung \( S \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\right) \), die jeder Polynomfunktion ihre Ableitungsfunktion zuordnet. Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \) und eine Basis \( C \) von \( \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \), sodass
\( \mathcal{M}(S, B, C)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \)
(b) Gegeben seien die Basen
\( \begin{aligned} B &=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) & & \text { von } \mathbb{R}^{3}, \\ B^{\prime} &=(1,0,1),(0,1,0),(1,1,0) & & \text { von } \mathbb{R}^{3}, \\ C &=(1,0),(1,1) & & \text { von } \mathbb{R}^{2}, \\ C^{\prime} &=(-1,1),(0,1) & & \text { von } \mathbb{R}^{2} . \end{aligned} \)
Bestimmen Sie
i) \( \mathcal{M}(T, B, C) \)
iii) \( \mathcal{M}\left(T, B^{\prime}, C\right) \)
ii) \( \mathcal{M}\left(T, B, C^{\prime}\right) \)
iv) \( \mathcal{M}\left(T, B^{\prime}, C^{\prime}\right) \) 

\( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)

Answer 1

Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \) und eine Basis \( C \) von \( \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \),

a )  Wähle \( B \) = {x^3 , x^2 , x , 1 } und \( C \) = {3x^2 , 2x ,  1 }

b) Weiß man sonst nichts über T ?

Comments

Danke für die Hilfe!! Leider verstehe ich nicht, wie ich hier vorgehe. Wir hatten uns bisher noch nicht mit Abbildungsmatrizen befasst.

Achja zu T (sorry das habe nicht gesehen):

 \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch

\( T_{a, b}(x, y, z)=(2 x-4 y+3 z+a, 6 x+b x y z) \)

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zu a) Die von mir vorgeschlagene Basis B ist ja die übliche Standardbasis

für die Polynome. In den Spalten der Matrix stehen die Faktoren, die

man benutzen muss um das Bild des jeweiligen Basisvektors mit der

Basis des Zielraumes darzustellen.

Für die 1. Spalte der Matrix sind das 1  0   0.

Du brauchst also im Zielraum eine Basis u,v,w so, dass

1*u + 0*v + 0*w das Bild des ersten Basisvektors (also 3x^2) ergibt.

Dazu also u=3x^2.

Für die anderen entsprechend.

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Danke dir! Ich werde mal einen Versuch wagen. :D