Zeigen sie, dass U quer wieder ein UVR von X ist.

Question

Aufgabe:

Sei X normiert und U ⊆ X ein UVR.

Zeigen sie, dass U quer wieder ein UVR von X ist.

Answer 1

Jedes Element von \(\overline{U}\) ist Limes einer Folge \((u_n)\) mit

\(u_n\in U\).

Seien nun \(u,v\in \overline{U}\) dann gibt es Folgen \((u_n),(v_n)\)

mit \(u_n,v_n\in U\), so dass \(\lim u_n=u\) und \(\lim v_n=v\).

Da \(U\) ein Unterraum ist, gilt \(u_n+v_n\in U\) für alle \(n\).

Daraus folgt \(u+v=\lim u_n + \lim v_n=\lim (u_n+v_n )\), also

\(u+v\in \overline{U}\).

Ähnlich geht es bei der Mutliplikation mit Skalaren.

Comments

Ich weiß nicht wie ich das mit dem Skala machen soll.

Sei u ∈ U (quer), dann gibt es (u_n ) mit u_n ∈ U

dh. Lim u_n = u

Sei λ∈ K, da U UVR gilt λ· u_n ∈ U

-> λ·u= λ· lim u_n

Ich kenne lim λ·a_n = λ·a für λ∈ℝ

Hier komme ich nicht weiter

Wäre λ u= lim λ· u_n ? Und somit dann λ·u ∈ U (quer) ?