Zeige, dass die folgende Summe gegen 3*x/4 konvergiert!

Question

Aufgabe:

Wie zeiche ich, dass \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(1/(2n-1)²} \) =3*x/4, wobei x=\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{1/n²} \) ??

Answer 1

Die erste Summe ist die mit nur ungeraden Nennern, und die soll 3/4 der Summe sein, die man mit allen Nennern erreicht.

Also müsste die Summe mit ausschließlich geraden Nenner 1/4 der Gesamtsumme sein.

Die Differenz beider Summen ist (bzw. wäre) dann 3/4 - 1/4 = die Hälfte der Gesamtsumme.

Die Differenz \( (1/(2n-1)²) \)  -\( (1/(2n-1)²) \) kann man ja schon mal bilden und schauen, ob bei

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(1/(2n-1)²-(1/(2n)²)}\)

tatsächlich (tendenziell) die Hälfte von \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(1/n²} )\) herauskommt.

Answer 2

$$x=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{(2n-1)^2}+\frac1{(2n)^2}\right)\\\quad=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}\\\quad=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac14\cdot\frac1{n^2}\\\quad=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^2}+\frac x4.$$