Tensorprodukt: zeigen oder widerlegen, dass v ⊗ w = w ⊗ v genau dann, wenn

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und seien v, w ∈ V . Zeigen oder widerlegen Sie, dass v ⊗w = w ⊗v genau
dann, wenn v = λw fur ein λ ∈ K

Problem/Ansatz:

kann wir da jemand einen Denkanstoss geben?

Comments

w ⊗v bezeichnet ja oft die "direkte Summe".

Das gibt es aber nur von Unterräumen

nicht von einzelnen Vektoren.

Oder ist  ⊗ hier was anderes ?

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Das ist nicht die direkte Summe es ist das Tensorprodukt.

Answer 1

Das Tensorprodukt zweier Vektoren \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) ist ja gegeben durch \( \mathbf{u v}^{\top} \). Die hinreichende Bedingung der Aussage folgt unmittelbar, da ja schliesslich für \( \lambda \mathbf{u}=\mathbf{v} \) gilt:
\( \mathbf{u v}^{\top}=\mathbf{u} \lambda \mathbf{u}^{\top}=\lambda \mathbf{u} \mathbf{u}^{\top}=\mathbf{v u}^{\top} . \)
Für die notwendige Bedingung sehen wir
\( \begin{aligned} \mathbf{u v}^{\top}=\mathbf{v u}^{\top} & \Longrightarrow \mathbf{u v}^{\top} \mathbf{v}=\mathbf{v u}^{\top} \mathbf{v} \\ & \Longrightarrow \mathbf{u}=\lambda \mathbf{v}, \quad \lambda=\left(\mathbf{u}^{\top} \mathbf{v}\right) \cdot\left(\mathbf{v}^{\top} \mathbf{v}\right)^{-1} \in \mathbb{K} \end{aligned} \)