Hallo,
a) Zeigen Sie, dass u1, u2 und u3 keine orthogonale Basis des ℝ3 bilden.
Die drei Vektoren \(u_k\) mit \(k\in\{1,\,2,\,3\}\) bilden deshalb keine orthogonale Basis, da nicht im jeden Fall gilt$$\left< u_i,\,u_j \right> = 0 \quad \text{für}\space i \ne j$$Es ist vielmehr$$\left<u_2,\,u_3\right> = \left<\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \right> = 1\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + 0 \cdot (-1) = -1 \ne 0$$
b) Konstruieren Sie eine orthonormale Basis {b1, b2, b3} des ℝ3 mit b1 ∈ ℝu1 und b2 ∈ ℝu2.
da \(u_1\) und \(u_2\) bereits orthogonal zueinander stehen (ihr Skalarprodukt ist 0), kann man diese bereist benutzen. Man sie muss lediglich noch 'normieren' - d,h. auf die Länge 1 bringen. Es ist$$b_1 = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}, \quad b_2= \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$$und den dritten Vektor \(b_3\) erhält man über das Kreuzprodukt$$b_3 = b_1 \times b_2 = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \times \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix} 0\\0\\-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix}$$
c) Berechnen Sie die Koordinaten von w in der Basis {u1, u2, u3}, sowie die Skalarprodukte
〈w, u1〉, 〈w, u2〉, 〈w, u3〉.
Um die Koordinaten in der Basis \(\{u_1,\,u_2,\,u_3\}\) zu berechnen, muss folgendes gelten. Sei \({}^uw\) der vektor \(w\) mit den Koordinaten der Basis \(\{u_1,\,u_2,\,u_3\}\), so muss gelten$$w = [u_1,\,u_2,\,u_3] \cdot {}^uw$$und daraus folgt dann$${}^uw = [u_1,\,u_2,\,u_3]^{-1} w = \frac 12 \begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 0& 0& -2\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\ -2\\ -3\end{pmatrix}$$Frage bitte nach, falls etwas unklar ist. Zur Probe muss gelten$$w = 3\cdot u_1 -2\cdot u_2 -3\cdot u_3$$rechne es bitte nach.
Die Skalarprodukte sind \(\left<w,\,u_i\right> = \{3, -1,-1\}\), das schaffst Du alleine ;-) Ich habe unterstellt, dass immer das (Original-)\(w\) gemeint ist.
Zeigen Sie, dass w ≠〈w, u1〉u1 + 〈w, u2〉u2 + 〈w, u3〉u3.
Ok - das ist der Fall und sollte kein Problem sein.
d) Zeigen Sie, dass
w = 〈w, b1〉b1 + 〈w, b2〉b2 + 〈w, b3〉b3.
Ok das ist erfüllt. Es ist$$\left< w, \,b_i\right> = \left\{ \frac 32\sqrt 2,\, -\frac12\sqrt 2,\, 3\right\}$$ Falls etwas unklar ist, so frage auch hier nach.
Gruß Werner
