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Aufgabe:

Gegeben: \( f(x, y)=2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}, N B:=3 x 2 \sqrt{y}=900 \)

\( \begin{array}{l} L(x, y, \lambda)=2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}+\lambda(3 x 2 \sqrt{y}-900) \\ \frac{d L}{d x}=\frac{2 y^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}+6\lambda \sqrt{y}, \frac{d L}{d y}=\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{1}{3}}+\frac{3\lambda x}{2 \sqrt{y}}} \\ \frac{2 y^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{4} \cdot x \cdot \frac{1}{y}=\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow \frac{y^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3}}} x \frac{1}{y}=\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{1}{3}}} \mid \cdot 6 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 y^{\frac{1}{3}} \\ y^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}} \cdot x \frac{1}{y}=24 x \Leftrightarrow y x^{\frac{1}{y}}=24 x \end{array} \)

Bei mir steht am Ende immer ein Term in der Form x=ax wobei für x,y > 0 gilt.

Ich kriege es einfach nicht hin es sinnvoll aufzulösen, findet jemand den Fehler oder weiß eine andere Methode?

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Heißt die NB \(3x\cdot 2\sqrt{y}=900\)? Sieht etwas ungewöhnlich aus!

Diese Funktion hat unter der angegebenen Nebenbedingung keinen Extremwert im endlichen. Du kannst den Wert für \(f(x,y)\) beliebig nach oben treiben, indem Du für einen großen \(y\)-Wert das \(x\) aus der Nebenbedingung berechnest und dann in \(f(x,y)\) einsetzt.

Sprich einen Randwertvergleich als Lösung nehmen?

Sprich einen Randwertvergleich als Lösung nehmen?

Der "Randwert" liegt im Unendlichen und \(f(x,y)\) hat dort einen unendlich großen Wert. Weiß nicht, ob das in Deinem Sinne ist. Was ist denn der Background dieser Aufgabe?

Man soll einfach das min/max finden bzw. die Extrempunkte. Wenn ich einen Randwert vergleich mache ist 0 = 900 und das kann ja auch nicht sein. Ich müsste dann z.B. auf (x,1) und (1,y) ausweichen und ich weiß nicht ob das so im Sinne ist.

Man soll einfach das min/max finden bzw. die Extrempunkte.

ja schon - aber woher kommt die Aufgabe? War sie so wie hier vorgestellt gegeben? Oder ist sie das Produkt eines mehr oder weniger praktischen Problems?

Setze für \(x\) einen beliebig kleinen Wert \(\gt 0\) - z.B. \(x=10^{-20}\) dann ist wegen der NB \(y\approx 2,25\cdot 10^{44}\) und \(f(x,y)\approx1,6\cdot 10^{23}\). Hat das irgendeine praktische Bedeutung?

1 Antwort

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Wenn die Aufgabe so stimmt, hast du bei

der Abl. nach y im Nenner eine 2 zuviel

(oder im Zähler zu wenig).

Avatar von 289 k 🚀

Ableitungen sollten stimmen

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