Lagrange Aufgabe Ergebnis

Question

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute $$F(x_1,x_2)=11x_1^2+77x_1x_2+14x_2^2.$$

Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 75 und 79, wenn ein Produktionsniveau von 3786 erzielt werden soll.

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \(x_2\)?

Problem/Ansatz:

Ich habe für x2 das Ergebnis 0,09, was falsch ist.

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden \(x\) und \(y\) anstatt \(x_1\) und \(x_2\), um Indizes zu sparen...

Die Kostenfunktion $$C(x,y)=75x+79y$$soll unter der Nebenbedingung$$F(x,y)=11x^2+77xy+14y^2\stackrel!=3786$$ optimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:$$L(x,y,\lambda)=75x+79y-\lambda(11x^2+77xy+14y^2-3786)$$

Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig, insbesondere wenn (wie hier) gar nicht nach dem Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) gefragt wird. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_xC & \partial_xF\\\partial_yC & \partial_yF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}75 & 22x+77y \\79 & 77x+28y\end{array}\right|=75(77x+28y)-79(22x+77y)$$$$\phantom{0}=5775x+2100y-1738x-6083y=4037x-3983y$$Die erhaltene Forderung \(x=\frac{3983}{4037}y\) setzen wir in die Nebenbedingung ein und erhalten \(y\):$$\left.11\cdot\left(\frac{3983}{4037}y\right)^2+77\cdot\frac{3983}{4037}y\cdot y+14y^2=3786\quad\right|$$$$100,67771749\,y^2=3786$$$$y=\pm\sqrt{\frac{3786}{100,67771749}}\approx\pm6,13230327$$Die negative Lösung scheidet aus, da es keine negativen Produktionsmengen gibt:$$\boxed{y=6,13230327}$$

Comments

Super vielen Dank, sehr gute Erklärung!

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..., insbesondere wenn (wie hier) gar nicht nach dem Lagrange-Multiplikator (\lambda\) gefragt wird.

das ist etwas, was mich schon immer bei Aufgaben dieser Art gewundert hat. Wieso eigentlich hat der Wert des Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) überhaupt irgend eine Bedeutung. Wenn wie hier die Nebenbedingung lautet: $$11x^2+77xy+14y^2 -3786 = 0$$Dann ist doch das absolut dasselbe wie $$2(11x^2+77xy+14y^2 -3786) = 0$$\(\lambda\) würde sich aber im zweiten Fall halbieren. Auch ist es doch egal, ob die Lagrange-Gleichung $$L(\vec x, \lambda) = f(\vec x) + \lambda g(\vec x)$$oder $$L(\vec x, \lambda) = f(\vec x) - \lambda g(\vec x)$$lautet. Das eine \(\lambda\) wäre aber dann \(=-\lambda\).
Entscheidend ist doch nur, dass \(\lambda \ne 0\) ist - oder?

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Nach Lagrange müssen ja der Gradient der zu optimierenden Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein. Der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) ist der Faktor, mit dem man den Gradienten der Nebenbedingung multiplizieren muss, um den Gradienten der Funktion zu erhalten:$$\operatorname{grad}(\text{Funktion})=\lambda\cdot\operatorname{grad}(\text{Nebenbedingung})$$Daher ist die entscheidende Forderung tatsächlich \(\lambda\ne0\).

In der Physik, speziell bei der klassichen Mechanik, gibt es einen sog. "Lagrange-Formalismus" zur Berechnung mechanischer Systeme, die sich unter Zwangskräften bewegen (z.B. wenn ein Ball eine spezielle Bahn entlang rollt.) Jede Zwangskraft erzeugt eine Nebenbedingung und damit einen Lagrange-Multiplikator. Dieser gibt Auskunft über die Stärke der jeweiligen Zwangskraft. Mit anderen Worten, in der Physik kann man den Lagrange-Multiplikatoren eine konkrete Bedeutung zuordnen.

Aber bei allgemeinen Optimierungsaufgaben wie hier, macht der Lagrange-Multiplikator die Rechnung eigentlich nur unnötig aufwändig.

Answer 2

Text erkannt:

\( F(x, y)=11 x^{2}+77 x y+14 y^{2} \)
\( 75 x+79 y=3786 \rightarrow y=\frac{3786}{79}-75 \frac{x}{79} \)
\( F(x)=11 x^{2}+77 x \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)+14 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)^{2} \)
\( \frac{d F(x)}{d x}=22 x+77 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)+77 x \cdot\left(-\frac{75}{79} x\right)+14 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right) \cdot\left(-\frac{75}{79}\right) \)
\( 22 x+77 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)+77 x \cdot\left(-\frac{75}{79} x\right)+14 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right) \cdot\left(-\frac{75}{79}\right)=0 \)
\( x \approx 6,205 \)
\( y \approx \frac{3786}{79}-75 \cdot \frac{6,205}{79} \approx 42,033 \)
\( F(6,205 ; 42,033) \approx 11 \cdot 6,205^{2}+77 \cdot 6,205 \cdot 42,033+14 \cdot 42,033^{2} \approx 45241,08 \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets