Der wievielte Wochentag ist das? (modular rechnen)

Question

Aufgabe: Heute ist Dienstag. Welcher Wochentag ist in

X=11^2022!+1 +Σ²⁰²²_{k=1 15}^k Tagen?

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Aufgabe lösen?

Comments

In 11^(2022! +1) Tagen gibt es keine Tage mehr.

Das letzte schwarze Loch ist dann längst verdampft.

In der ewigen kalten, Dunkelheit ist es für immer Nacht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=11%5E%282022%21%29

Das nur nebenbei. :)

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Guter Kommentar.

Answer 1

Wir wollen also herausfinden, was \( X \bmod 7 \) ergibt. Dies lässt sich mithilfe der modularen Arithmetik bestimmen:
\( \begin{aligned} X &=11^{2022 !+1}+\sum \limits_{k=1}^{2022} 15^{k} \\ & \equiv_{7}\left(R_{7}(11)\right)^{2022 !+1}+\sum \limits_{k=1}^{2022}\left(R_{7}(15)\right)^{k} \\ & \equiv_{7} 4^{2022 !+1}+\sum \limits_{k=1}^{2022} 1 \\ & \equiv_{7}\left(R_{7}(64)\right)^{2022 !-1}+R_{7}(2022) \\ & \equiv_{7} 1+R_{7}\left(R_{7}(2) \cdot R_{7}(10) ^3+R_{7}(22)\right) \equiv_{7} 1+6=2 \end{aligned} \)
Demenstsprechend müssen wir 7 Tage von Dienstag weiterrechnen und kommen auf Dienstag.

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Vielen Dank!