Text erkannt:
Es sei \( (V, \Phi) \) ein euklidischer Raum. Für \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) sei \( W_{n}:=V^{n} \).
a) Zeigen Sie, dass \( W_{n} \) mit der Abbildung
\( \Phi_{n}: W_{n} \times W_{n} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right),\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right)\right) \mapsto \sum \limits_{k=1}^{n} \Phi\left(v_{k}, w_{k}\right) \)
zu einem euklidischen Vektorraum wird.
b) Sie können annehmen, dass die Menge
\( \Delta_{V}:=\left\{(v, \ldots, v) \in W_{n} ; v \in V\right\} \)
zu einem Untervektorraum von \( W_{n} \) wird. Zeigen Sie, dass
\( \pi: W_{n} \rightarrow \Delta_{V},\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \mapsto\left(\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} v_{k}, \ldots, \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} v_{k}\right) \)
die Orthogonalprojektion auf \( \Delta_{V} \) ist.
Text erkannt:
c) Sei nun speziell \( n=4 \) und \( V=\mathbb{R} \) mit der Multiplikation als (Standard-)Skalarprodukt. Berechnen Sie den Abstand von \( \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right) \in W_{4} \) von \( \Delta_{V} \), bzw. \( \left(\Delta_{V}\right)^{\perp} \)
