Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität überprüfen:

Question

Ich soll folgende Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität überprüfen:

(1) F: ℤ-> (0,1) x-> 0, x Gerade

                            1,x ungerade

(2) g: ℝ ->  ℝ, x -> x³

(3) h: ℝ -> ℂ x-> x+jx²

(4) t:ℝ (-1) -> ℝ (1), x-> (x-1)/(x+1)

Problem/Ansatz: Ich verstehe die Untersuchungen überhaupt nicht. Bijektiv ist es, wenn die beiden anderen gegeben sind. Beim ersten würde ich vermuten ist die Abbildung injektiv ist, aber das wäre geraten. Kann mir da jemand helfen?

Ergänzung in Latex: Aufgabe 2 .Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:(i) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow\{0,1\}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}0, & x \text { gerade, } \\ 1, & x \text { ungerade. }\end{array}\right. \)(ii) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{3} \),(iii) \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, \quad x \mapsto x+j x^{2} \),(iv) \( \varphi: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{1\}, \quad x \mapsto \frac{x-1}{x+1} \).

Comments

Bist du denn zufrieden damit, wie deine Frage auf dem Bildschirm aussieht?

{ } ( ) [ ] usw. Bitte benutze die korrekten Klammern. Oder schreibe in Worten, was gemeint ist.

Answer 1

(1) F: ℤ-> {0,1} x-> 0, x Gerade

.... -------- ............... 1,x ungerade

F(1) = 1, F(2) = 0, F(3) = 1, usw. Da nun F(1) = F(3) , aber 3≠1 ist dieses F "nicht injektiv."

Wären da geschweifte Klammern vorhanden, enthielte die Wertemenge bloss die Zahlen 0 und 1. Beide werden angenommen. Daher wäre F surjektiv.

Da eine der beiden Eigenschaften sicher nicht vorhanden ist, ist F nicht bijektiv.

(2) und (4) düften bijektiv sein.

(3) wohl nicht, denn die Bildmenge von F(x) = x+jx^2 besteht nur aus einer Kurve (Parabel) in der komplexen Zahlenebene. Somit nicht aus allen Punkten von C. Also nicht surjektiv (somit nicht bijektiv). Injektiv ist dieses F aber schon, denn jedes Element der Parabel hat genau einen Realteil.

Comments

Aufgabe 2 .
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
(i) \( f: \mathbb{Z} \rightarrow\{0,1\}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}0, & x \text { gerade, } \\ 1, & x \text { ungerade. }\end{array}\right. \)
(ii) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{3} \),
(iii) \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, \quad x \mapsto x+j x^{2} \),
(iv) \( \varphi: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{1\}, \quad x \mapsto \frac{x-1}{x+1} \).

Ich hoffe jetzt kann man es besser verstehen.

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Wenn das bei 1 Mengenklammern waren, habe ich (1) schon verstanden gehabt. gut.

Zu den andern Teilfragen äussere ich mich frühestens, wenn ich anhand deiner Rückmeldung vermuten kann, dass du die fraglichen Begriffe (surjektiv, bijektiv, injektiv) nun annähernd verstehst.

Bzw. was da immer noch unklar sein könnte.

Sobald du alles in LaTeX eingibst, hat das Forum Freude, mein Browser weniger. Habe nun bei (4) in deiner Klartextversion die vorher fehlenden Klammern ergänzt. (Latex-Version angeschaut)