Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6k + 5 mit k ∈ N0 gibt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primazahlen der Form 6k + 5 mit k ∈ N₀ gibt. Gehen Sie dazu in folgenden Schritt vor:

a) Zeigen Sie, dass jede Primzahl p > 3 von der Form 6k + 1 oder 6k + 5 mit k ∈ N₀ ist.

b) Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Zahlen der Form 6k + 1 mit k ∈ N₀ wieder von dieser Form ist.

c) Zeigen Sie nun die Behauptung.

Problem/Ansatz:

bei a habe ich folgende:

Jede ganze Zahl lässt sich in der Form 6n -2, 6n- 1, 6n, 6n +1, 6n + 2 oder 6n + 3 darstellen (mit einer ganzen Zahl n). Primzahlen (außer 2 und 3) haben aber nicht die Form 6n - 2, 6n, 6n, 6n + 2, 6n + 3, da alle solchen Zahlen durch 2 oder durch 3 (oder sogar durch 6) teilbar sind. Daher hat jede Primzahl p> 3 die Form 6n-1 oder 6n+1.

Ist das bei a richtig?

Ich werde sehr dankbar, wenn mir auch jemand b und c hilft.

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass jede Primzahl p > 3 von der Form 6k + 1 oder 6k + 5 mit k ∈ N0 ist.

6k ist garantiert durch 2 und 3 teilbar und damit keine Primzahl.
6k + 1 ist nicht durch 2 und durch 3 teilbar und somit ein Kandidat für eine Primzahl.
6k + 2 ist garantiert durch 2 teilbar und damit keine Primzahl.
6k + 3 ist garantiert durch 3 teilbar und damit keine Primzahl.
6k + 4 ist garantiert durch 2 teilbar und damit keine Primzahl.
6k + 5 ist nicht durch 2 und durch 3 teilbar und somit ein Kandidat für eine Primzahl.

a) hast du also richtig.

b) Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Zahlen der Form 6k + 1 mit k ∈ N0 wieder von dieser Form ist.

(6·j + 1)·(6·i + 1) = 36·i·j + 6·i + 6·j + 1 = 6·(6·i·j + i + j) + 1 = 6·k + 1 mit k = 6·i·j + i + j

Comments

Vielen Dank, weißt du auch c?

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Hat jemand bei c Ahnung?

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Ich bitte um Ihre Hilfe.

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Bitte bitte bitte!!!

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Könnt ihr mir bitte teil c zeigen? Ich werde sehr dankbar. Ich hab leider kein Plan