∑x^k/k (k≥1), x ∈ ℝ Untersuchen auf Konvergenz

Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz
(mit Begründung)!

∑\( \frac{x^k}{k} \) (k≥1), x ∈ ℝ

Also mein Ansatz war, dass ich erst mit dem Quotienten-Kriterium arbeite und dann halt ne Fallunterscheidung machen muss für IxI=1, IxI <1 und IxI>1.

Geh ich da auf dem Holzweg?

Comments

Quotientenkriterium ist prima.
Die Fälle \(x=1\) und \(x=-1\) musst du in der Tat
einzeln betrachten.

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mit dem Qoutientenkriterium bin ich jetzt bei I(x*k)/(k+1)I... Ist das richtig? Und dann Fallunterscheidung?

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Guck dir das Quotientenkriterium für Potenzreihen
nochmal genau an !

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ja... jetzt komm ich auf k/(k+1)?

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Genau. Und der Limes davon ist = 1.

Damit weißt du, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert und

für |x|>1 divergiert. Bleibt also nur der Fall |x|=1,

d.h. die beiden Unterfälle x=-1 und x=1.

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Naja.. bei x=-1 würde es gegen 0 (?) konvertieren und bei x=1 geht es nach ∞.. also divergiert es(?)

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Bei x=-1 kovergiert es gegen ln(2).
Das könnt ihr vielleicht noch nicht wissen. Musst mal googlen ....
Dass es bei x=-1 konvergiert, ist aber nach dem Leibniz-Kriterium
gesichert.

Mit der Divergenz bei x=1 hast du Recht.

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Okay.. ich hatte einfach mal "lim ∑-1^k/k" bei Wolfram Alpha eingegeben und der hat mir 0 rausgegeben..

Aber vielen Dank für die Hilfe!

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Hier das Ergebnis bei Wolfram:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5Ej%2Fj%2C+j%3D1..infinity

Habe das falsche Vorzeichen gehabt, also -ln(2)

Answer 1

Das ist doch eine gute Idee.

Ansonsten könnte auch die Beobachtung helfen, dass die

Ableitung von x^k / k gerade x^(k-1) ist, und dann ist es die

geometrische Reihe.