Poissonverteilung und geometrische Verteilung

Question

Aufgabe:

Seien \( X, Y: \Omega \rightarrow \mathbb{N}_{0} \) Zufallsvariablen auf einem W-Raum \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \). Zudem seien \( \lambda>0 \) und \( p \in(0,1) \).

(i) Man zeige, dass \( \mathbb{E}[X]=\lambda \) und \( \operatorname{Var}[X]=\lambda \), wenn \( \mathbb{P}_{X}=\prod \limits_{\lambda} \) (Poissonverteilung),
(ii) Man zeige, dass \( \mathbb{E}[Y]=\frac{1}{p} \) und \( \operatorname{Var}[Y]=\frac{1-p}{p^{2}} \), wenn \( \mathbb{P}_{Y}=\mathrm{G}_{p} \) (geometrische Verteilung).

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Vom Duplikat:

Titel: Zufallsvariablen auf einen W-Raum

Stichworte: verteilung,stochastik

Aufgabe:

Seien \( X, Y: \Omega \rightarrow \mathbb{N}_{0} \) Zufallsvariablen auf einem W-Raum \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \). Zudem seien \( \lambda>0 \) und \( p \in(0,1) \).

(i) Man zeige, dass \( \mathbb{E}[X]=\lambda \) und \( \operatorname{Var}[X]=\lambda \), wenn \( \mathbb{P}_{X}=\prod \limits_{\lambda} \) (Poissonverteilung),

(ii) Man zeige, dass \( \mathbb{E}[Y]=\frac{1}{p} \) und \( \mathbb{V a r}[Y]=\frac{1-p}{p^{2}} \), wenn \( \mathbb{P}_{Y}=\mathrm{G}_{p} \) (geometrische Verteilung).