Produkt von 5 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen stets durch 10 teilbar

Question

Aufgabe: Beweise oder widerlege, dass das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen stets durch 10 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier leider absolut nicht weiter, könnte mir da jemand helfen?

Comments

(n-2)(n-1)*n*(n+1)(n+2)

n(n^2-4)(n^2-1) = n^5-5n^3+4n

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Warum ist n^5 - 5·n^3 + 4·n für jedes n durch 10 teilbar?

Irgendwie sehe ich das hieraus nicht sofort.

Answer 1

Eine der 5 aufeinanderfolgenden Zahlen ist garantiert durch 5 teilbar und mind. 2 der 5 aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch 2 teilbar.

Das Produkt muss damit durch 2 und durch 5 also durch 10 teilbar sein.

Man könnte denke ich sogar sagen, dass Produkt von 5 aufeinanderfolgender Zahlen ist mind. durch 5! = 120 teilbar. Eine Zahl die durch 120 teilbar ist, ist allerdings auch durch 10 teilbar.