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Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Basen B1 B_{1} und B2 B_{2} von R2[t] \mathbb{R}_{\leq 2}[t]
B1={1t+2t2,2+3t+7t2,2+3t+6t2},B2={1+2t+2t2,1+3t+3t2,2+7t+6t2}. \begin{array}{l} B_{1}=\left\{1-t+2 t^{2}, 2+3 t+7 t^{2}, 2+3 t+6 t^{2}\right\}, \\ B_{2}=\left\{1+2 t+2 t^{2},-1+3 t+3 t^{2},-2+7 t+6 t^{2}\right\} . \end{array}
i) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Koordinatentransformation von B1 B_{1} nach B2 B_{2} .
ii) Bestimmen Sie die Darstellung des Polynoms
2(1t+2t2)+9(2+3t+7t2)8(2+3t+6t2) 2 \cdot\left(1-t+2 t^{2}\right)+9 \cdot\left(2+3 t+7 t^{2}\right)-8 \cdot\left(2+3 t+6 t^{2}\right)
als Linearkombination der Vektoren aus B2 B_{2} .


Problem/Ansatz:

Ich weiss leider nicht wie man sowas berechnet hat wer vielleicht einen Link wo es genauer erklart wird oder ein Tipp zu der Aufgabe? Wáre sehr dankbar :)

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Aloha :)

Da die Basen B1B_1 und B2B_2 bezüglich der Standardbasis S=(1,t,t2)S=(1,t,t^2) angegeben sind, können wir die Übergangsmatrizen von der jeweiligen Basis BiB_i in die Standardbasis direkt angeben:SidB1=(122133276);SidB2=(112237236){_S}\mathbf{id}_{B_1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\-1 & 3 & 3\\2 & 7 & 6\end{array}\right)\quad;\quad{_S}\mathbf{id}_{B_2}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -2\\2 & 3 & 7\\2 & 3 & 6\end{array}\right)

zu i) Für die Transformationsmatrix B2idB1{_{B_2}}\mathbf{id}_{B_1} von B1B_1 nach B2B_2 muss also gelten:B2idB1=B2idSSidB1=(SidB2)1SidB1{_{B_2}}\mathbf{id}_{B_1}={_{B_2}}\mathbf{id}_{S}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B_1}=\left({_S}\mathbf{id}_{B_2}\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B_1}B2idB1=(112237236)1(122133276)=(12,62,468,66,4343)\phantom{{_{B_2}}\mathbf{id}_{B_1}}=\left(\begin{array}{rrr}1 &-1& -2\\2 & 3 & 7\\2 & 3 & 6\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\-1 & 3 & 3\\2 & 7 & 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2,6 & 2,4\\6 & 8,6 & 6,4\\-3 & -4 & -3\end{array}\right)

zu ii) Das Polynom ist bezüglich der Basis B1B_1 mit (2;9;8)T(2;9;-8)^T angegeben, daher lautet seine Darstelleung bezüglich der Basis B2B_2:(12,62,468,66,4343)(298)=(6,238,218)\left(\begin{array}{rrr}1 & 2,6 & 2,4\\6 & 8,6 & 6,4\\-3 & -4 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}2\\9\\-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6,2\\38,2\\-18\end{array}\right)

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