Berechnen Sie alle reellen Lösungen für k so, dass der Imaginärteil von z verschwindet

Question

Aufgabe:

z = (7k+j7) / (7+j7k)

Berechnen sie alle reelle Lösungen für k so dass der imaginärteil von z verschwindet

Problem/Ansatz:

… wie genau kann ich die Aufgabe lösen?

Ich hab es mal versucht bin mir aber nicht sicher ob es stimmt

\( \begin{aligned}  &=\frac{7 k+j \cdot(7)}{7+j 7 k} \cdot \frac{7-j 7 k}{7-j 74}=\frac{49 k-j 49 k^{2}+j 49-\sqrt{49 k}}{49-49 k+49 j k-49 k^{2}} \\ &=\frac{-j 49 k^{2}+j 49}{49-49 k^{2}}=\frac{\left(49-49 k^{2}\right) \cdot i}{49+49 k^{2}} \\ & \operatorname{Rel}(2)=\frac{49}{49+494^{2}} \quad \operatorname{lm}(2)=\frac{-49 k^{2}}{49+49 k^{2}} \end{aligned} \)

Comments

Ist es so \(\displaystyle z=\frac{7k+7\mathrm j}{7+7k\mathrm j}=\frac{k+\mathrm j}{1+k\mathrm j}\cdot\frac{1-k\mathrm j}{1-k\mathrm j}=\frac{2k+(1-k^2)\mathrm j}{1+k^2}\)  gemeint?

Dann verschwindet der Imaginärteil von \(z\) für \(k\in\lbrace-1,1\rbrace\).

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also z stimmt aber wie bist du auf k+j/1+kj usw gekommen ? muss du da nicht den nenner konjugieren und dann mit zähler und nenner multiplizieren?

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Wenn \(z\) so stimmt, kannst du doch als erstes im Zähler und Nenner jeweils \(7\) ausklammern und kürzen. Das macht die Aufgabe schon etwas übersichtlicher.

Answer 1

Das waren vermutlich einige Unfälle beim Übertragen von Handschrift in lesbaren Text.

Re(2) und Im(2) soll vermutlich Re(z) und Im(z) heißen.

Wenn Im(z) verschwinden soll, muss 49-49k²=0 gelten.

Re(z) ist sowieso 0. Schließlich heißt dein Zähler 0+(reelle Zahl)*i.

Comments

Ich hab des nicht ganz verstanden sorry, kannst du es mir genauer erklären

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\(\frac{(49-49 k^{2})\cdot i}{49+49 k^{2}} \) kannst du schreiben als

\(\frac{0}{49+49 k^{2}}+i\cdot \frac{49-49 k^{2}}{49+49 k^{2}}  \).

Der erste Bruch ist der Realteil, der zweite Bruch ist der Imaginärteil.

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Wieso steht da eine 0?

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Weil 0 nichts ist und weil nur mit dieser 0 MEIN Term mit DEINEM Term übereinstimmt.

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Verstehe mich nicht falsch ich versuche es nur zu verstehen. Ich weiß aber auch nicht ob das was ich gemacht habe richtig ist also die ganze Rechnung. Die Aufgabenstellung habe ich ja ganz oben hingeschrieben. Wenn das alles so richtig ist wie ich es gemacht hab, ist dann der realteil 0 und imaginäreteil 49-49k^2?