Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Koordinatentransformation von Basen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Basen \( B_{1} \) und \( B_{2} \) von \( \mathbb{R}_{\leq 2}[t] \)
\( \begin{array}{l} B_{1}=\left\{1-t+2 t^{2}, 2+3 t+7 t^{2}, 2+3 t+6 t^{2}\right\}, \\ B_{2}=\left\{1+2 t+2 t^{2},-1+3 t+3 t^{2},-2+7 t+6 t^{2}\right\} . \end{array} \)
i) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Koordinatentransformation von \( B_{1} \) nach \( B_{2} \).
ii) Bestimmen Sie die Darstellung des Polynoms
\( 2 \cdot\left(1-t+2 t^{2}\right)+9 \cdot\left(2+3 t+7 t^{2}\right)-8 \cdot\left(2+3 t+6 t^{2}\right) \)
als Linearkombination der Vektoren aus \( B_{2} \).

Problem/Ansatz:

Ich weiss leider nicht wie man sowas berechnet hat wer vielleicht einen Link wo es genauer erklart wird oder ein Tipp zu der Aufgabe? Wáre sehr dankbar :)

Answer 1

Aloha :)

Da die Basen \(B_1\) und \(B_2\) bezüglich der Standardbasis \(S=(1,t,t^2)\) angegeben sind, können wir die Übergangsmatrizen von der jeweiligen Basis \(B_i\) in die Standardbasis direkt angeben:$${_S}\mathbf{id}_{B_1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\-1 & 3 & 3\\2 & 7 & 6\end{array}\right)\quad;\quad{_S}\mathbf{id}_{B_2}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -2\\2 & 3 & 7\\2 & 3 & 6\end{array}\right)$$

zu i) Für die Transformationsmatrix \({_{B_2}}\mathbf{id}_{B_1}\) von \(B_1\) nach \(B_2\) muss also gelten:$${_{B_2}}\mathbf{id}_{B_1}={_{B_2}}\mathbf{id}_{S}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B_1}=\left({_S}\mathbf{id}_{B_2}\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B_1}$$$$\phantom{{_{B_2}}\mathbf{id}_{B_1}}=\left(\begin{array}{rrr}1 &-1& -2\\2 & 3 & 7\\2 & 3 & 6\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\-1 & 3 & 3\\2 & 7 & 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2,6 & 2,4\\6 & 8,6 & 6,4\\-3 & -4 & -3\end{array}\right)$$

zu ii) Das Polynom ist bezüglich der Basis \(B_1\) mit \((2;9;-8)^T\) angegeben, daher lautet seine Darstelleung bezüglich der Basis \(B_2\):$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2,6 & 2,4\\6 & 8,6 & 6,4\\-3 & -4 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}2\\9\\-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6,2\\38,2\\-18\end{array}\right)$$