Das Delta wird natürlich nicht ganz willkürlich festgelegt,
sondern vorher durch Rechnung gesucht.
Du hattest doch auch schon
\( \frac{|xo+x|* delta}{|x^2x0^2|} < \epsilon \) .
Also \( \delta< \epsilon \cdot \frac{|x^2x0^2|} {|xo+x|} \)
Das ist sicherlich dann erfüllt, wenn man für
|x^2x0^2| einen kleineren und
für |xo+x| einen größeren Wert wählt.
Für 0<δ<xo/2 ist dann ja 1,5xo > x > xo/2 also
|xo+x| > 1,5xo.
und |x^2x0^2| < xo^2 * (xo/2)^2 = xo^4 /4
Wähle also \( \delta= \epsilon \cdot \frac{|x_0^4 /4|} {1,5x_o}= \epsilon \cdot x_o^3 \cdot \frac{8}{3} \).
Dann gilt |xo+x| < δ
==> \( |xo+x| < \epsilon \cdot x_o^3 \cdot \frac{8}{3} \)
\( = \epsilon \cdot \frac{|x_0^4 /4|} {1,5x_o}= \epsilon \cdot \frac{|x_0^2 x^2|} {x+x_o}\)
Und aus \( |xo+x| < \epsilon \cdot \frac{|x_0^2 x^2|} {x+x_o}\)
folgt ja wie du gerechnest hattest |f(xo)-f(x)| < ε.
