Zeige mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums, dass 1/(x^2) auf dem Intervall (0,unendlich) stetig ist

Question

Aufgabe:

Zeige mithilfe des Epsilon-Delltra Kriteriums, dass 1/(x^2) auf dem Intervall (0,unendlich) stetig ist

Problem/Ansatz:

Die ersten Umformungsschritte habe ich hinbekommen,

aber ab da komme ich nicht weiter:

\( \frac{|xo+x|* delta}{|x^2x0^2|} \) .

Ich habe zuerst gedacht, man könne dies weiter nach unten abschätzen, in dem man den Nenner weglässt, aber dann fiel mir ein, dass er ja auch kleiner 1 sein kann.

Außerdem habe ich in Beispiel oft gesehen, dass man bei Intervallen, wo man etwas mit der 0 zu tun hat, Randfalluntersuchung machen muss. Ist das auch hier vonnöten?

Answer 1

Sei ε>0 und  xo ∈ (0,unendlich), also xo > 0 . Wähle nun δ < xo / 2.

Dann ist jedenfalls für alle x mit | x-xo| < δ

xo+x auch >0 und x > xo/2.    somit auch (xo+x) * ε / (xo^2 * xo/2)^2 ) > 0

Wähle zusätzlich δ so, dass auch δ < (xo+x) * ε / (xo^2 * xo/2)^2 )

Dann folgt aus | x-xo| < δ auch | f(x)-f(xo) | <ε.

Comments

δ < (x_o+x) * ε / (x_o² * x² )

Wähle eine δ-Definition, in der x nicht auftritt.

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Ach ja, das korrigiere ich.

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Wie kommt man darauf, dass man Delta so festlegen kann? Irgendwie verstehe ich die Intuition dahinter nicht, was dann der Unterschied ist zu Funktionen die nicht stetig sind ob man das da auch so "willkürlich" festlegen kann? Wäre nett, wenn du mir das erklären könntest :)

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Das Delta wird natürlich nicht ganz willkürlich festgelegt,

sondern vorher durch Rechnung gesucht.

Du hattest doch auch schon

\( \frac{|xo+x|* delta}{|x^2x0^2|} < \epsilon \) .

Also \( \delta< \epsilon \cdot \frac{|x^2x0^2|} {|xo+x|} \)

Das ist sicherlich dann erfüllt, wenn man für

|x^2x0^2| einen kleineren und

für |xo+x| einen größeren Wert wählt.

Für 0<δ<xo/2 ist dann ja 1,5xo > x > xo/2 also

|xo+x| > 1,5xo.

und |x^2x0^2| < xo^2 * (xo/2)^2 = xo^4 /4

Wähle also \( \delta= \epsilon \cdot \frac{|x_0^4 /4|} {1,5x_o}= \epsilon \cdot x_o^3 \cdot \frac{8}{3} \).

Dann gilt |xo+x| < δ

==>  \( |xo+x| < \epsilon \cdot x_o^3 \cdot \frac{8}{3} \)

   \(    =   \epsilon \cdot \frac{|x_0^4 /4|} {1,5x_o}=  \epsilon \cdot \frac{|x_0^2 x^2|} {x+x_o}\)

Und aus \( |xo+x| <  \epsilon \cdot \frac{|x_0^2 x^2|} {x+x_o}\)

folgt ja wie du gerechnest hattest |f(xo)-f(x)| < ε.