Reihenkonvergenz mit geeignetem Kriterium untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und Divergenz.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(8^{\frac{1}{n}}-1\right)^{n} \)

Ich weiß durch scharfes hinsehen, dass die Reihe konvergent ist. Aber nach welchem Kriterium könnte ich das mathematisch beweisen (Quotientenkriterium, Leibnitzkriterium, Integralkriterium oder Wurzelkriterium)?

Ich habe genau bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten ein geeignetes Kriterium zu finden und dieses auch hier anzuwenden.

Comments

Probieren geht über Studieren.

Du hast in Deiner Aufzählung übrigens das Majoranten bzw Minorantenkriterium vergessen.

Weißt Du denn, ob \(8^{1/n}\) konvergiert?

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Wenn n unendlich groß wird, dann wird aus dem Exponent eine 1. Somit konvergiert es gegen 1.

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Dann kannst Du ja mit dem Hinweis von lul arbeiten.

Answer 1

Aloha :)

Wegen des Exponenten in den Folgengliedern \(a_n=\left(8^{\frac1n}-1\right)^n\) liegt ein Duft von Wuzrelkriterium in der Luft. Wegen \(8^{\frac1n}=\sqrt[n]8>1\) sind alle \(a_n>0\), sodass gilt:$$\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left|\left(8^{\frac1n}-1\right)^n\right|}=\sqrt[n]{\left(8^{\frac1n}-1\right)^n}=8^{\frac1n}-1\;\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\;1-1=0<1$$Das Wurzelkriterium ist also erfüllt, d.h. die Reihe konvergiert.

Beachte, dass \(8^{\frac1n}=e^{\frac1n\ln(8)}\to e^0=1\) konvergiert.

Comments

Wie konntest Du dem "Duft von Quotientenkriterium" widerstehen? ;-)

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Lol, ich meinte natürlich Wurzelkriterium... ich bin davor 30km gejoggt und war wohl etwas müde ;)

Answer 2

Hallo

wenn a_n=irgendwas hoch n ist dann doch wohl das Wurzelkriterium

lul