Zeigen, dass x · f(x) stetig in x = 0 ist

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine beschränkte Funktion.

a) Zeigen Sie, dass x · f(x) stetig in x = 0 ist.

b) Zeigen Sie, dass x^2· f(x) differenzierbar in x = 0 ist.

c) Finden Sie ein f, so dass x · f(x) nicht differenzierbar in x = 0 ist

Problem/Ansatz:

wenn f(x) eine beschränkte Funktion ist, kann man doch zeigen, dass sie stetig ist und wenn man dazu einen Punkt multipliziert macht das doch nichts aus aber wie schreibe ich dies mathematisch auf

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige, dass x · f (x) stetig in x = 0 ist

Stichworte: konstante,integral,ableitungen

Hallo, ich bin dabei paar Aufgaben in Analysis zu lösen und bin auf diese Aufgabe gestoßen. Leider weiß ich nicht ganz genau, wie ich den Beweis führen muss. Ich wäre über jede Hilfe/Ansatz sehr dankbar!

Sei f : ℝ → ℝ eine beschränkte Funktion.
a) Zeigen Sie, dass x · f (x) stetig in x = 0 ist.
b) Zeigen Sie, dass x² · f (x) differenzierbar in x = 0 ist.

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a) Da f beschränkt ist

|x*f(x) - 0| = |x*f(x)| ≤ |x|* c für eine geeignete Konstante c≥0.

Also x*f(x) → 0 für x →0

Analoge Überlegungen kann man für b) mit dem Differenzenquotienten anstellen.

Answer 1

Betrachte auch

https://www.mathelounge.de/356839/ist-die-funktion-f-g-im-nullpunkt-stetig-fortsetzbar

Answer 2

wenn f(x) eine beschrnkte funktion ist kann man doch zeigen das sie stetig ist

Das ist falsch: Betrachte

          f(x) = 1 für x≥0

              und =0 für x<0.

Ist beschränkt, aber bei 0 nicht stetig.

Answer 3

zu a)

Offensichtlich gilt x*(0)=0.

Wegen der Beschränktheit gibt es ein B>0 sodass -B<f(x)<B für alle x ist.

Daraus folgt -x*B<x*f(x)<x*B.

Wie groß ist \( \lim\limits_{x\to 0} -x·B\)?

Wie groß ist \( \lim\limits_{x\to 0} x·B\)?

Und wie schmeckt ein Sandwich?

Comments

das erste limes gegen 0 und das zweite gegen unendlich

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und das zweite gegen unendlich

Null mal konstante Zahl geht gegen UNENDLICH???