Wieso existieren die Grenzwerte für x->0 und x->2 nicht?

Question

f: \( \mathrm{R} \rightarrow R, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-3 x^{2}+2 x} & x \notin\{0,1,2,3\} \\ -1 & x=0 \\ -2 & x=1 \\ 1 & x=2 \\ 0 & x=3\end{array}\right. \)

In der Lösung dieser Aufgabe wird gesagt, dass die Funktion u.a. nicht in 0 und 2 stetig ist, da die Grenzwerte dieser Punkte nicht existieren. Wieso existieren die Grenzwerte nicht?

Answer 1

Weil die Grenzwertberechnung ±unendlich ergeben wurde.

Answer 2

f(x)=\( \frac{x^2-1}{x^3-3x^2+2x} \)       x∉{0,1,2,3}

In der Lösung dieser Aufgabe wird gesagt, dass die Funktion u.a. nicht in 0 und 2 stetig ist, da die Grenzwerte dieser Punkte nicht existieren. Wieso existieren die Grenzwerte nicht?

	0	1	2	3
\( \frac{x^2-1}{x^3-3x^2+2x} \)	-\( \frac{1}{0} \)	\( \frac{0}{0} \)	\( \frac{3}{0} \)	\( \frac{8}{6 } \)

Hier siehst du, dass es nur bei x=3 einen Funktionswert gibt.

Bei x=1 kannst du die Regel von L´Hospital anwenden:

x→1  eingesetzt in \( \frac{2x}{3x^2-6x+2} \)    ergibt -2

Die roten Geraden sind die beiden Pole.