Berechne die Summe (Newton)

Question

Aufgabe:

Berechne die Summe: \( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} \) + 2*\( \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \) + 3*\( \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} \) + ... + n*\( \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Komme ich hier mit \( \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix} \) = \( \frac{n}{p} \)*\( \begin{pmatrix} n-1\\p-1 \end{pmatrix} \) weiter?

Comments

Müssen die \(n\) nicht oben stehen?

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Sind das wirklich Binomialkoeffizienten, wo die Zahl oben größer ist als die Zahl unten?

Oder sind es Vektoren?

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Sorry falsche Schreibweise gewählt :D

Answer 1

Aloha :)

Ja, das ist genau die Eigenschaft des Binomialkoeffizienten, die dir hier schnell weiterhilft. Zusammen mit dem binomischen Lehrsatz gilt nämlich:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\frac{n}{k}\cdot\binom{n-1}{k-1}=n\sum\limits_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}$$$$=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\cdot1^k\cdot1^{(n-1)-k}=n\cdot(1+1)^{n-1}=n\cdot2^{n-1}$$

Comments

Super, danke! Konnte ich sehr gut nachvollziehen :)

Answer 2

Für n=1 ist die Summe 1.

Für n=2 ist die Summe 2+2=4

Für n=3 ist die Summe 3+6+3 = 12

Für n=4 ist die Summe 4+12+12+4= 32

Für n=5 ist die Summe 5+20+30+20+5=80

Diese 5 Ergebnisse haben die Form

1*1

2*2

3*4

4*8

5*16,

woraus ich die allgemeine Form \( n\cdot2^{n-1} \) zu erkennen glaube.

Einen Induktionsbeweis wäre das wert.

PS: Tschaka hat inzwischen eine schöne direkte Herleitung eingestellt.