Question

Berechnen Sie mit Hilfe des verallgemeinerten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
den Grenzwert
limx→x0
(xhochalpha-x0hochalpha)/xhochbeta-x0hochbeta

für x0 >0,α,β ∈ reelen Zahlen,β≠0. Setzen Sie im Mittelwert dazu für f(x) = xhochalpha unf für g(x)=xhochbeta ein.

Answer 1

Du sollst ja betrachten

f(x) = x^α und g(x)=x^ß . Für xo>0  und den Grenzwert x gegen xo kannst

du ja annehmen, dass auch x>0 gilt. Außerdem β≠0, also sind die

Vor'en des verallgemeinerten Mittelwertsatzes erfüllt und es gilt

\(  \frac{x^α-x_0^α}{x^ß-x_0^ß} = \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}  \)

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein z zwischen x und x_o so, dass dieser

Bruch gleich ist mit \(  \frac{f'(z)}{g'(z)} =  \frac{    αz^{α-1}}{ßz^{ß-1}} = \frac{    α}{ß}  \cdot \frac{    z^{α-1}}{z^{ß-1}} =  \frac{    α}{ß}  \cdot  z^{α-1-(ß-1)}\)

\(   =  \frac{    α}{ß}  \cdot z^{α-ß}\)

Und für x gegen xo geht auch z (Das liegt ja dazwischen) gegen xo,

also ist der Grenzwert \(    \frac{    α}{ß}  \cdot x_0^{α-ß}\)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Man ersetzt also x mit z, weil es zwischen x und x0 liegen muss nach dem Mittelwertsatz und bildet dann jeweils die Ableitung von f(z) und g(z) und hat dann den Grenzwert?