Grenzwerte berechnen, Limes

Question

(i) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}-1} \)
(ii) Berechnen Sie den folgenden Limes
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\ln (\cos (x))} \)
(iii) Zeigen Sie, dass die durch
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 \end{array}\right. \)
definierte Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar ist. Ist \( f \) überall stetig differenzierbar (d.h. ist die Ableitung von \( f \) überall stetig)?

Aufgabe:

Comments

Geht es um die Anwendung der Sätze von l'Hospital?. Beachte, dass diese Regel(n) eventuell auch 2mal oder sogar mehrmals angewendet werden. Was spricht dagegen, dass Du es einfach mal machst?

Answer 1

Hallo,

(i) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}-1} \)

Wenn Du 0 einsetzt, bekommst Du den Ausdruck 0/0 ->Regel von L'Hospital.

Leite den Zähler und Nenner getrennt ab:

Du bekommst:

=\( \lim\limits_{x\to0} \) (\( \frac{2x}{e^{x}}) \) =0