Konvergenzradius Summe von n=0 bis unendlich ((100^n)/(2n+1))*z^n

Question

Bestimme den Konvergenzradius von:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{100^{n}}{(2 n+1)} z^{n} \)

Daraus folgt ja, dass die Potenzreihe so aussieht:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{100^{n}}{(2 n+1)} *(z-0)^{n} \)

Die Folge a_n wäre ja jetzt \( \frac{100^{n}}{(2 n+1)} \) und den Konvergenzradius würde ich jetzt so berechnen:

\( R=\frac{1}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|} \)

woraus ja hier folgen würde:

\( R=\frac{1}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{100^{n+1}}{2(n+3)}}{\frac{100^{n}}{(2 n+1)}}\right|} \)

und dann würde ich erst einmal den Grenzwert berechnen:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{100^{n+1}}{(2 n+3)}}{\frac{100^{n}}{(2 n+1)}}\right|=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{100^{n+1}}{(2 n+3)} * \frac{(2 n+1)}{100^{n}}\right| \)

Könnte mir jemand ab diesem Schritt weiterhelfen?

Comments

ich würde an deiner stelle erstmal die 100^n rauskürzen das geht denn 100^{n+1}= 100*100^{n}

und ab dann zusammenfassen und gewöhnlich den grenzwert berechnen

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Also sobald wir gekürt haben steht da ja :

lim (n->∞)   |100(2n+1) / ( 2n+3)  |
das ist aber gleich =  lim (n->∞) 100(2n+1) / ( 2n+3) da n aus eh nie negativ werden kann und damit der bruch sowieso immer positiv bleibt.

als nächstes die 100 reinmultiplizieren  :

lim (n->∞)  (200n+100) / (2n+3)
nun n ausmultiplizieren : lim (n->∞)  n( 200+ 100/n)  /  n(2+3/n)  
Hier kürzen wir nun n :     lim (n->∞) (200+100/n ) /  (2+3/n)

Da n gegen unendlich läuft laufen 100/n und 3/n gegen 0  da ja nur der Nenner wächst und mit immer größer werdendem nenner wird die Zahl kleiner   also ist der Grenzwert : 200/2 = 100  
Übrigens wenn du auch bei mir in ana1 beim saal bist hast du nen teil der Aufgabe weggelassen ne

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Du kommst auf R= 1/100 ?

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in diesem fall ja ( bin nicht der fragensteller sondern der jenige der auch geantwortet hatte ) aber die aufgabe ist sowieso falsch abgeschrieben und an den fragensteller : in den übungen sagte man uns wir müssten das verfahren aus dem skript anwenden in der klausur für den konvergenzradius und kein anderes also 
lim sup ( ⁿ√ (|an|)) und dann haben wir ja gegeben ist das ergebnis : zwischen 0 und ∞ so ist r= 1/ergebnis  , falls ergebnis = 0 dann ist r= ∞ und ist das ergebnis unendlich so ist r = 0

steht so im skript 

Answer 1

Antwort an den Nicht-Fragesteller:
Achtung lim ⁿ√(2n+1) = 1 für n gegen unendlich.

Vgl: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282n%2B1%29%5E%281%2Fn%29

1/r = lim sup ⁿ√|an| = lim sup ⁿ√(100ⁿ/(2n+1))

= lim sup 100 / (2n+1)^{1/n}

= 100/1 = 100

Daher hast du auch r = 1/100.