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Aufgabe:

Reihen auf Konvergenz untersuchen:

(1) $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{n!}{2^n}$$

(2) $$\sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{n+4}{(n-1)(n-2)}$$

(3) $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(1+(-1)^n*\frac{1}{2})^n}{n^2}$$


Problem/Ansatz:

bei (1) reicht es doch zu zeigen, dass $$\frac{n!}{2^n}$$ nicht monoton fallend ist? nach Leibnizkriterium wäre die reihe dann ja nicht konvergent, oder?

bei (2) hatte ich keine idee auf anhieb, habe mal quotientenkriterium versucht und da kam ich dann auf $$\frac{n^2+3n-10}{n^2+4n}$$, aber das hilft mir glaube ich nicht wirklich weiter. die reihe müsste aber nicht konvergieren.

bei (3) dachte ich mir, dass man zeigen könnte, dass $$\frac{(1+(-1)^n*\frac{1}{2})^n}{n^2}$$ keine nullfolge ist, aber da kam ich nicht wirklich weiter.

hoffe jemand kann mir helfen. :D

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Beste Antwort

Hallo

zu 1 zeige dass n!/2^n ab einem n >1 ist, also keine Nullfolge.

zu 2  Minorantenkriterium , ersetze den Zähler durch n-2, vergleiche mit harmonischer Reihe

zu 3)  ab wann ist 1,5^n>n^2?

Grus lul

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1: verstehe ich und ist klar (ab n≥4 ist das >1)

bei 2: warum genau darf man den zähler durch (n-2) ersetzen?

was danach folgt ist klar, (n-2) kürzt sich weg. 1/(n-1) bleibt stehen. wäre 1/(n-1) konvergent, wäre auch 1/n konvergent nach Majorantenkriterium (1/n ≤ 1/(n-1) (n≥3 nach Aufgabenstellung)), was ein Widerspruch ist, da die harmonische Reihe nicht konvergiert. oder direkt Minorantenkriterium, aber kommt auf das gleiche. Also divergiert die gegebene Reihe.

bei 3: darf man das mit 1,5n im Zähler wieder einfach annhemen, oder wie begründet man das? weil jeder zweiter wert im Zähler ja 0.5n ist.

Aber den Ansatz verstehe ich wieder, wenn 1,5n>n2 ist ab irgendeinem n, dann ist es wieder keine NF und damit divergent.

Hallo

wenn alle Summanden kleiner sind und dann die Summe divergiert, dann auch die größere Summe, das heisst Minorantenkriterium.

bei 3. das notwendige Kriterium: die an bilden eine Nullfolge ist nicht erfüllt.

Gruß lul

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